ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Карточка лотереи «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано ровно:

а) 0 чисел;

б) 1 число;

в) 2 числа;

г) 3 числа?

На лотерейной карточке отмечают 6 чисел из 49;

а) Вероятность, что верно отмечено ровно 0 чисел:

$$N=C_{49}^6,N(A)=C_{43}^6;$$

$$N = C_{49}^{6},\quad N(A) = C_{43}^{6};$$ $$P(A)=\frac{N(A)}{N}=\frac{C_{43}^6}{C_{49}^6}=\frac{43!}{6!\cdot 37!}÷\frac{49!}{6!\cdot 43!};$$

$$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{C_{43}^{6}}{C_{49}^{6}} = \frac{43!}{6! \cdot 37!} \div \frac{49!}{6! \cdot 43!};$$ $$P(A) = \frac{43!}{37!} \cdot \frac{43!}{49!} = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38}{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44} \approx 0{,}4359;$$

Ответ: ≈ 43,6%.

б) Вероятность, что верно отмечено ровно 1 число:

$$N=C_{49}^6,N(A)=C_6^1\cdot C_{43}^5;$$

$$N = C_{49}^{6},\quad N(A) = C_{6}^{1} \cdot C_{43}^{5};$$ $$P(A)=\frac{N(A)}{N}=\frac{C_6^1\cdot C_{43}^5}{C_{49}^6}=\frac{6\cdot 43!}{5!\cdot 38!}÷\frac{49!}{6!\cdot 43!};$$

$$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{C_{6}^{1} \cdot C_{43}^{5}}{C_{49}^{6}} = \frac{6 \cdot 43!}{5! \cdot 38!} \div \frac{49!}{6! \cdot 43!};$$ $$P(A) = \frac{6 \cdot 43!}{38!} \cdot \frac{6 \cdot 43!}{49!} = \frac{36 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39}{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44} \approx 0{,}4130;$$

Ответ: ≈ 41,3%.

в) Вероятность, что верно отмечено ровно 2 числа:

$$N=C_{49}^6,N(A)=C_6^2\cdot C_{43}^4;$$

$$N = C_{49}^{6},\quad N(A) = C_{6}^{2} \cdot C_{43}^{4};$$ $$P(A)=\frac{N(A)}{N}=\frac{C_6^2\cdot C_{43}^4}{C_{49}^6}=\frac{6!}{2!\cdot 4!}\cdot \frac{43!}{4!\cdot 39!}÷\frac{49!}{6!\cdot 43!};$$

$$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{C_{6}^{2} \cdot C_{43}^{4}}{C_{49}^{6}} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \cdot \frac{43!}{4! \cdot 39!} \div \frac{49!}{6! \cdot 43!};$$ $$P(A) = \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot \frac{43!}{39!} \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 43!}{49!} = \frac{15 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 30}{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44} \approx 0{,}1323;$$

Ответ: ≈ 13,2%.

г) Вероятность, что верно отмечено ровно 3 числа:

$$N=C_{49}^6,N(A)=C_6^3\cdot C_{43}^3;$$

$$N = C_{49}^{6},\quad N(A) = C_{6}^{3} \cdot C_{43}^{3};$$ $$P(A)=\frac{N(A)}{N}=\frac{C_6^3\cdot C_{43}^3}{C_{49}^6}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}\cdot \frac{43!}{3!\cdot 40!}÷\frac{49!}{6!\cdot 43!};$$

$$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{C_{6}^{3} \cdot C_{43}^{3}}{C_{49}^{6}} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \cdot \frac{43!}{3! \cdot 40!} \div \frac{49!}{6! \cdot 43!};$$ $$P(A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2} \cdot \frac{43!}{40!} \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 43!}{49!} = \frac{20 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 120}{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44} \approx 0{,}0176;$$

Ответ: ≈ 1,77%.

Условие:

• В лотерейной карточке всего 49 чисел.
• Игрок отмечает 6 чисел.
• В результате тиража также определяется 6 выигрышных чисел.
• Все 49 чисел считаются равновероятными.
• Нас интересует вероятность того, что на карточке угадано ровно k чисел (при $k = 0, 1, 2, 3$).

Обозначения:

• Всего способов выбрать 6 выигрышных чисел из 49:

  $$N = C_{49}^{6} = \text{общее число равновозможных вариантов} = \binom{49}{6}$$

• Игрок заранее отметил 6 чисел. И теперь интересует, какова вероятность, что из выпавших 6 чисел ровно k совпадут с выбранными игроком числами.

Общая формула для вероятности угадать ровно $k$ чисел:

$$P(k) = \frac{\binom{6}{k} \cdot \binom{43}{6 — k}}{\binom{49}{6}}$$

Пояснение:

• $\binom{6}{k}$ — выбрать k чисел из 6 отмеченных на карточке (они должны совпасть с выигрышными);
• $\binom{43}{6 — k}$ — выбрать остальные $6 — k$ выигрышных чисел из 43 неотмеченных;
• $\binom{49}{6}$ — общее число возможных сочетаний 6 выигрышных чисел из 49.

а) Вероятность угадать ровно 0 чисел

$$P(0) = \frac{\binom{6}{0} \cdot \binom{43}{6}}{\binom{49}{6}} = \frac{1 \cdot \binom{43}{6}}{\binom{49}{6}}$$

Посчитаем:

• $\binom{43}{6} = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38}{6!} = 6096454$
• $\binom{49}{6} = 13983816$

$$P(0) = \frac{6096454}{13983816} \approx 0{,}4359$$

В процентах:

$$P(0) \approx 43{,}59\%$$

Ответ (а): $\boxed{43{,}6\%}$

б) Вероятность угадать ровно 1 число

$$P(1) = \frac{\binom{6}{1} \cdot \binom{43}{5}}{\binom{49}{6}} = \frac{6 \cdot \binom{43}{5}}{\binom{49}{6}}$$

• $\binom{43}{5} = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39}{5!} = 962598$
• $\binom{49}{6} = 13983816$

$$P(1) = \frac{6 \cdot 962598}{13983816} = \frac{5775588}{13983816} \approx 0{,}4131$$

В процентах:

$$P(1) \approx 41{,}31\%$$

Ответ (б): $\boxed{41{,}3\%}$

в) Вероятность угадать ровно 2 числа

$$P(2) = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{43}{4}}{\binom{49}{6}} = \frac{15 \cdot \binom{43}{4}}{\binom{49}{6}}$$

• $\binom{43}{4} = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{4!} = 123410$

$$P(2) = \frac{15 \cdot 123410}{13983816} = \frac{1851150}{13983816} \approx 0{,}1324$$

В процентах:

$$P(2) \approx 13{,}24\%$$

Ответ (в): $\boxed{13{,}2\%}$

г) Вероятность угадать ровно 3 числа

$$P(3) = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3}}{\binom{49}{6}} = \frac{20 \cdot \binom{43}{3}}{\binom{49}{6}}$$

• $\binom{43}{3} = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41}{3!} = 12341$

$$P(3) = \frac{20 \cdot 12341}{13983816} = \frac{246820}{13983816} \approx 0{,}0176$$

В процентах:

$$P(3) \approx 1{,}76\%$$

Ответ (г): $\boxed{1{,}77\%}$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{43{,}6\%}$
б) $\boxed{41{,}3\%}$
в) $\boxed{13{,}2\%}$
г) $\boxed{1{,}77\%}$