ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

В классе 22 красивых ученика, а умных — 18. Всего в классе 30 учеников, и каждый из них умный или красивый. Какова вероятность того, что случайно вызванный по списку класса ученик:

а) и умный, и красивый;

б) умный, но не красивый;

в) красивый, но не умный?

г) Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми.

Всего в классе 30 учеников, из них:
$A = 22$ — красивых;
$B = 18$ — умных;

а) Вероятность, что вызванный ученик и умный, и красивый:

$$N(AB) = (A + B) — N = (22 + 18) — 30 = 10;$$ $$P(AB) = \frac{N(AB)}{N} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3};$$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Вероятность, что вызванный ученик умный, но не красивый:

$$N(AB) = (A + B) — N = (22 + 18) — 30 = 10;$$ $$N(\overline{A}B) = B — N(AB) = 18 — 10 = 8;$$ $$P(\overline{A}B) = \frac{N(\overline{A}B)}{N} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15};$$

Ответ: $\frac{4}{15}$

в) Вероятность, что вызванный ученик красивый, но не умный:

$$N(AB) = (A + B) — N = (22 + 18) — 30 = 10;$$ $$N(A\overline{B}) = A — N(AB) = 22 — 10 = 12;$$ $$P(A\overline{B}) = \frac{N(A\overline{B})}{N} = \frac{12}{30} = 0{,}4;$$

Ответ: $0{,}4$

г) Ответы в пунктах а) и в) будут одинаковы, если:

$$P(A\overline{B}) = P(AB);$$ $$\frac{N(A\overline{B})}{N} = \frac{N(AB)}{N};$$ $$A — N(AB) = N(AB);$$ $$2N(AB) = A;$$ $$2(A + B — N) = A;$$ $$2N = A + 2B;$$ $$N = \frac{A}{2} + B = \frac{22}{2} + 18 = 11 + 18 = 29;$$

Ответ: в классе $\boxed{29}$ учеников.

По условию:

• В классе 30 учеников
• 22 из них — красивые
• 18 из них — умные
• Каждый ученик — либо умный, либо красивый, либо и то и другое
• Нас просят найти вероятности определённых событий, связанных с пересечением множеств.

Обозначим:

• $N = 30$ — общее число учеников
• $A = 22$ — число красивых
• $B = 18$ — число умных
• $A \cap B$ — число учеников, которые и умные, и красивые
• $A \setminus B$ — красивые, но не умные
• $B \setminus A$ — умные, но не красивые

По формуле включения-исключения:

$$|A \cup B| = |A| + |B| — |A \cap B|$$

Но по условию все ученики либо умные, либо красивые (т.е. $A \cup B = N = 30$), значит:

$$30 = 22 + 18 — |A \cap B| \Rightarrow |A \cap B| = 22 + 18 — 30 = 10$$

а) Вероятность, что ученик и умный, и красивый:

Мы нашли:

$$|A \cap B| = 10$$

Всего учеников $N = 30$

Тогда вероятность:

$$P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{N} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$$

Ответ (а): $\boxed{\dfrac{1}{3}}$

б) Вероятность, что ученик умный, но не красивый:

Это ученики, входящие в множество $B \setminus A$:

$$|B \setminus A| = |B| — |A \cap B| = 18 — 10 = 8$$

Тогда вероятность:

$$P(B \setminus A) = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$$

Ответ (б): $\boxed{\dfrac{4}{15}}$

в) Вероятность, что ученик красивый, но не умный:

Это ученики из множества $A \setminus B$:

$$|A \setminus B| = |A| — |A \cap B| = 22 — 10 = 12$$

Тогда вероятность:

$$P(A \setminus B) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0{,}4$$

Ответ (в): $\boxed{0{,}4}$

г) Измените общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми.

Пусть:

• $x$ — новое общее количество учеников (вместо 30)
• Условие: $P(A \cap B) = P(A \setminus B)$

Запишем через количество:

• $P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{x}$
• $P(A \setminus B) = \frac{|A| — |A \cap B|}{x}$

Приравниваем:

$$\frac{\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }}{x}=\frac{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }}{x}\Rightarrow \mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }\Rightarrow 2\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\Rightarrow$$

$$\frac{|A \cap B|}{x} = \frac{|A| — |A \cap B|}{x} \Rightarrow |A \cap B| = |A| — |A \cap B| \Rightarrow 2|A \cap B| = |A| \Rightarrow |A \cap B| = \frac{|A|}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

Теперь найдём $x$, зная:

$$x = |A| + |B| — |A \cap B| = 22 + 18 — 11 = 29$$

Ответ (г): $\boxed{29}$ учеников должно быть в классе, чтобы вероятности совпали.