ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Равносильно ли уравнение $\sin x = 0$ данному уравнению;

Решения уравнения:

$$\sin x = 0; \quad x = \pi n;$$

а) $\cos x = 1$;

$$x = 2\pi n;$$

Ответ: нет.

б) $\tg x = 0$;

$$x = \arctg 0 + \pi n = \pi n;$$

Ответ: да.

в) $\cos 2x = 1$;

$$2x = 2\pi n; \quad x = \frac{2\pi n}{2} = \pi n;$$

Ответ: да.

г) $\sqrt{x — 1} \cdot \sin x = 0$;
Выражение имеет смысл при:

$$x — 1 \geq 0; \quad x \geq 1;$$

Решения уравнения:

$$x_1 = \pi n,\ n \geq 1; \quad x_2 = 1;$$

Ответ: нет.

Рассмотрим уравнение:

$$\sin x = 0$$

Шаг 1. Найдём общее решение:

$$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Это — все числа кратные $\pi$: $0, \pi, 2\pi, -\pi, \dots$

Теперь сравним это уравнение с четырьмя другими и проверим равносильность (одинаковые ли множества решений).

а) Уравнение:

$$\cos x = 1$$

Шаг 1. Решим:

$$\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2. Сравним с $\sin x = 0$:

• $\cos x = 1 \Rightarrow x = 0, 2\pi, 4\pi, \dots$
• $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$

То есть, решения уравнения $\cos x = 1$ входят в решения уравнения $\sin x = 0$, но не все.

Например, $x = \pi$ — решение $\sin x = 0$, но не $\cos x = 1$.

Вывод: множества решений не совпадают ⇒ уравнения не равносильны.

Ответ: нет.

б) Уравнение:

$$\tg x = 0$$

Шаг 1. Решим:

$$\tg x = 0 \Rightarrow x = \arctg 0 + \pi n = 0 + \pi n = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2. Сравнение:

• $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$
• $\tg x = 0 \Rightarrow x = \pi n$

Вывод: множества решений совпадают полностью.

Ответ: да.

в) Уравнение:

$$\cos 2x = 1$$

Шаг 1. Решим:

$$\cos 2x = 1 \Rightarrow 2x = 2\pi n \Rightarrow x = \pi n$$

Шаг 2. Сравнение:

• $\cos 2x = 1 \Rightarrow x = \pi n$
• $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$

Вывод: множества решений совпадают полностью.

Ответ: да.

г) Уравнение:

$$\sqrt{x — 1} \cdot \sin x = 0$$

Шаг 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

$$\sqrt{x — 1} \ \text{определено при } x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$$

Шаг 2. Уравнение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

• $\sqrt{x — 1} = 0 \Rightarrow x = 1$
• $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, но при этом $x \geq 1$

Шаг 3. Найдём подходящие $\pi n \geq 1$:

$$\pi \cdot 1 \approx 3.14 > 1 \Rightarrow \text{Подходят } x = \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$$

Итоговое множество решений:

• $x = 1$
• $x = \pi n,\ n \in \mathbb{Z},\ \pi n \geq 1$

А исходное уравнение $\sin x = 0$ имело решения:

• $x = \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$, то есть и $0, -\pi$ и т.д.

Вывод: множества решений не совпадают.

Ответ: нет.