ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3^{\sqrt{x} + 4} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^x = 1$ и $\sqrt{x} + 4 — x = 0$;

б) $\sqrt{0{,}5^x} \cdot 2^{x^2} \cdot \sqrt{2} = 4$ и $x^2 — \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$

Равносильны ли уравнения:

а) $3^{\sqrt{x} + 4} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^x = 1$ и $\sqrt{x} + 4 — x = 0$;

Преобразуем первое уравнение:
$3^{\sqrt{x} + 4} \cdot 3^{-x} = 1;$
$3^{\sqrt{x} + 4 — x} = 3^0;$
$\sqrt{x} + 4 — x = 0;$

Ответ: да.

б) $\sqrt{0{,}5^x} \cdot 2^{x^2} \cdot \sqrt{2} = 4$ и $x^2 — \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$;

Преобразуем первое уравнение:
$\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{x^2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 4;$
$2^{- \frac{x}{2}} \cdot 2^{x^2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^2;$
$2^{x^2 — \frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = 2^2;$
$x^2 — \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} = 2;$

Ответ: да.

а) Проверим, равносильны ли уравнения:
$3^{\sqrt{x} + 4} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^x = 1$ и $\sqrt{x} + 4 — x = 0$

Шаг 1. Преобразуем первое уравнение:

Запишем $\left( \dfrac{1}{3} \right)^x$ как $3^{-x}$:

$$3^{\sqrt{x} + 4} \cdot 3^{-x} = 1$$

Шаг 2. Применим правило: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$3^{\sqrt{x} + 4 — x} = 1$$

Шаг 3. Запишем 1 как степень тройки: $1 = 3^0$:

$$3^{\sqrt{x} + 4 — x} = 3^0$$

Шаг 4. Приравниваем показатели (основания равны и больше 1):

$$\sqrt{x} + 4 — x = 0$$

Это и есть второе уравнение. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да.

б) Проверим, равносильны ли уравнения:
$\sqrt{0{,}5^x} \cdot 2^{x^2} \cdot \sqrt{2} = 4$ и $x^2 — \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$

Шаг 1. Запишем все под одинаковым основанием. Напомним:

• $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$,
• $\sqrt{0{,}5^x} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x/2} = 2^{-x/2}$,
• $\sqrt{2} = 2^{1/2}$

Подставим:

$$2^{-x/2} \cdot 2^{x^2} \cdot 2^{1/2} = 4$$

Шаг 2. Слева применим правило: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$2^{x^2 — \frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = 4$$

Шаг 3. Запишем 4 как степень двойки: $4 = 2^2$:

$$2^{x^2 — \frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = 2^2$$

Шаг 4. Приравниваем показатели:

$$x^2 — \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2$$

Это и есть второе уравнение. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да.