ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти синус, косинус и тангенс числа $t$, если:

а) $t = 0$;

$$\sin t = \sin 0 = 0;$$ $$\cos t = \cos 0 = 1;$$ $$\tg t = \tg 0 = 0;$$

б) $t = \frac{\pi}{2}$;

$$\sin t = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$ $$\cos t = \cos \frac{\pi}{2} = 0;$$ $$\tg t = \tg \frac{\pi}{2} — \text{нет};$$

в) $t = \frac{3\pi}{2}$;

$$\sin t = \sin \frac{3\pi}{2} = -1;$$ $$\cos t = \cos \frac{3\pi}{2} = 0;$$ $$\tg t = \tg \frac{3\pi}{2} — \text{нет};$$

г) $t = \pi$;

$$\sin t = \sin \pi = 0;$$ $$\cos t = \cos \pi = -1;$$ $$\tg t = \tg \pi = 0$$

Определение через единичную окружность.
Рассматриваем окружность радиуса $1$, центр в начале координат. Для угла $t$ (в радианах) берём точку $P_t=(x,y)$ — конец радиуса, повернутого от оси $Ox$ против часовой на угол $t$. Тогда:

$$\cos t = x,\qquad \sin t = y.$$

Отсюда автоматически следует тождество Пифагора:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Тангенс как отношение:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t},$$

поэтому $\tg t$ не определён, когда $\cos t = 0$. Геометрически это вертикальные точки $(0,1)$ и $(0,-1)$ — углы $t=\frac{\pi}{2}+k\pi$.

Подсказка по градусам (для интуиции):
$0=$ $0^\circ$, $\frac{\pi}{2}=$ $90^\circ$, $\pi=$ $180^\circ$, $\frac{3\pi}{2}=$ $270^\circ$.

а) $t=0$ (угол $0^\circ$)

Положение точки: старт на оси $Ox$ справа, $P_0=(1,0)$.

$\cos 0 = x = 1$.

$\sin 0 = y = 0$.

$\tg 0 = \dfrac{\sin 0}{\cos 0}=\dfrac{0}{1}=0$.

Проверка Пифагора: $0^2+1^2=1$ — ок.

Итог:

$$\sin 0 = 0,\quad \cos 0 = 1,\quad \tg 0 = 0.$$

б) $t=\dfrac{\pi}{2}$ (угол $90^\circ$)

Положение точки: верхняя точка окружности, $P_{\pi/2}=(0,1)$.

$\cos \frac{\pi}{2} = x = 0$.

$\sin \frac{\pi}{2} = y = 1$.

$\tg \frac{\pi}{2} = \dfrac{\sin \frac{\pi}{2}}{\cos \frac{\pi}{2}}=\dfrac{1}{0}$ — не определён (деление на ноль).

Почему «нет» у тангенса? (чуть глубже):
$\tg x$ имеет вертикальную асимптоту при $x=\frac{\pi}{2}$.
Если $x\to \frac{\pi}{2}-0$, то $\tg x \to +\infty$;
если $x\to \frac{\pi}{2}+0$, то $\tg x \to -\infty$. Единого конечного значения нет → «не существует».

Проверка Пифагора: $1^2+0^2=1$ — ок.

Итог:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1,\quad \cos \frac{\pi}{2} = 0,\quad \tg \frac{\pi}{2} \ \text{— нет (не определён)}.$$

в) $t=\dfrac{3\pi}{2}$ (угол $270^\circ$)

Положение точки: нижняя точка окружности, $P_{3\pi/2}=(0,-1)$.

$\cos \frac{3\pi}{2} = x = 0$.

$\sin \frac{3\pi}{2} = y = -1$.

$\tg \frac{3\pi}{2} = \dfrac{-1}{0}$ — не определён.

Поведение около точки:
У $\tg$ период $\pi$, поэтому около $3\pi/2$ поведение как около $\pi/2$:
$\tg\!\left(\frac{3\pi}{2}-0\right)\to +\infty,\quad \tg\!\left(\frac{3\pi}{2}+0\right)\to -\infty$. Значит, значения нет.

Проверка Пифагора: $(-1)^2+0^2=1$ — ок.

Итог:

$$\sin \frac{3\pi}{2} = -1,\quad \cos \frac{3\pi}{2} = 0,\quad \tg \frac{3\pi}{2} \ \text{— нет (не определён)}.$$

г) $t=\pi$ (угол $180^\circ$)

Положение точки: левая точка на оси $Ox$, $P_\pi=(-1,0)$.

$\cos \pi = x = -1$.

$\sin \pi = y = 0$.

$\tg \pi = \dfrac{0}{-1}=0$.

Проверка Пифагора: $0^2+(-1)^2=1$ — ок.

Итог:

$$\sin \pi = 0,\quad \cos \pi = -1,\quad \tg \pi = 0.$$

$$\sin t = \sin \pi = 0;\quad \cos t = \cos \pi = -1;\quad \tg t = \tg \pi = 0.$$