ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{tg}t$

б) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{ctg}t-1$

в) ${\sin }^{2}t-\mathrm{tg}t\cdot \mathrm{ctg}t$

г) $\frac{1-{\cos }^{2}t}{1-{\sin }^{2}t}$

Упростить выражение:

а) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{tg}t=\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}={\sin }^{2}t$;

Ответ: ${\sin }^{2}t$.

б) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{ctg}t-1=\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\cos t}{\sin t}-1={\cos }^{2}t-1=$

$={\cos }^{2}t-({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)=-{\sin }^{2}t$;

Ответ: $-{\sin }^{2}t$.

в) ${\sin }^{2}t-\mathrm{tg}t\cdot \mathrm{ctg}t={\sin }^{2}t-\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}={\sin }^{2}t-1={\sin }^{2}t-({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)=-{\cos }^{2}t$;

Ответ: $-{\cos }^{2}t$.

г) $\frac{1-{\cos }^{2}t}{1-{\sin }^{2}t}=\frac{({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\cos }^{2}t}{({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)-{\sin }^{2}t}=\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}={\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)}^2={\mathrm{tg}}^{2}t$;

Ответ: ${\mathrm{tg}}^{2}t$.

Базовые тождества и соглашения

1. $\mathrm{tg}t={\displaystyle \frac{\sin t}{\cos t}}$ (определено, когда $\cos t\mathrm{\ne }0$).
2. $\mathrm{ctg}t={\displaystyle \frac{\cos t}{\sin t}}$ (определено, когда $\sin t\mathrm{\ne }0$).
3. ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$.
4. При сокращении дробей всегда проверяем, что делитель не равен нулю (это определяет ОДЗ).

а) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{tg}t$

ОДЗ. Так как $\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}$, нужно $\cos t\mathrm{\ne }0$.

Пошагово:

Подставляем определение $\mathrm{tg}t$:

$$\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{tg}t=\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}\mathrm{.}$$

Сокращаем $\cos t$ (разрешено по ОДЗ):

$$=\sin t\cdot \cancel{\cos t}\cdot \frac{\sin t}{\cancel{\cos t}}={\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ с ОДЗ:

$$\boxed{{\displaystyle {\sin }^{2}t}},\cos t\mathrm{\ne }0.$$

б) $\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{ctg}t-1$

ОДЗ. Так как $\mathrm{ctg}t=\frac{\cos t}{\sin t}$, нужно $\sin t\mathrm{\ne }0$.

Пошагово:

Подставляем:

$$\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{ctg}t-1=\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\cos t}{\sin t}-1.$$

Сокращаем $\sin t$:

$$=\cancel{\sin t}\cdot \cos t\cdot \frac{\cos t}{\cancel{\sin t}}-1={\cos }^{2}t-1.$$

Используем тождество ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$:

$${\cos }^{2}t-1={\cos }^{2}t-({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)=-{\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ с ОДЗ:

$$\boxed{{\displaystyle -{\sin }^{2}t}},\sin t\mathrm{\ne }0.$$

в) ${\sin }^{2}t-\mathrm{tg}t\cdot \mathrm{ctg}t$

ОДЗ. Для $\mathrm{tg}t$ и $\mathrm{ctg}t$ нужны оба условия:

$$\cos t\mathrm{\ne }0,\sin t\mathrm{\ne }0.$$

Пошагово:

Запишем произведение:

$$\mathrm{tg}t\cdot \mathrm{ctg}t=\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}\mathrm{.}$$

Сократим $\sin t$ и $\cos t$:

$$=\frac{\cancel{\sin t}}{\cancel{\cos t}}\cdot \frac{\cancel{\cos t}}{\cancel{\sin t}}=1.$$

Подставляем:

$${\sin }^{2}t-\mathrm{tg}t\cdot \mathrm{ctg}t={\sin }^{2}t-1.$$

Применяем тождество:

$${\sin }^{2}t-1={\sin }^{2}t-({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)=-{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ с ОДЗ:

$$\boxed{{\displaystyle -{\cos }^{2}t}},\sin t\mathrm{\ne }0,\cos t\mathrm{\ne }0.$$

г) $\frac{1-{\cos }^{2}t}{1-{\sin }^{2}t}$

ОДЗ. Знаменатель $1-{\sin }^{2}t$ не должен быть равен нулю:

$$1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t\mathrm{\ne }0⟺\cos t\mathrm{\ne }0.$$

Пошагово:

В числителе:

$$1-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t\mathrm{.}$$

В знаменателе:

$$1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Получаем:

$$\frac{1-{\cos }^{2}t}{1-{\sin }^{2}t}=\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}\mathrm{.}$$

Записываем через ${\mathrm{tg}}^{2}t$:

$$\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}={\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)}^2={\mathrm{tg}}^{2}t\mathrm{.}$$

Ответ с ОДЗ:

$$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{tg}}^{2}t}},\cos t\mathrm{\ne }0.$$