ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

а) $\cos 2t$, если $t = \frac{\pi}{2}$;

$$\cos 2t = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \cos \pi = -1;$$

Ответ: $-1$.

б) $\sin \frac{t}{2}$, если $t = -\frac{\pi}{3}$;

$$\sin \frac{t}{2} = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2};$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) $\sin 2t$, если $t = -\frac{\pi}{6}$;

$$\sin 2t = \sin \left( -\frac{\pi}{6} \cdot 2 \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $\cos \frac{t}{2}$, если $t = -\frac{\pi}{3}$;

$$\cos \frac{t}{2} = \cos \left( -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) $\cos 2t$, если $t=\dfrac{\pi}{2}$

Подставляем $t$:

$$\cos 2t=\cos\!\left(2\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos \pi.$$

Значение на единичной окружности: $\pi$ радиан — это точка $(-1,0)$. Следовательно,

$$\cos \pi=-1.$$

(Проверка через формулу двойного угла)

$$\cos 2t=1-2\sin^2 t,\quad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 \Rightarrow \cos 2t=1-2\cdot 1^2=1-2=-1.$$

Ответ: $-1$.

б) $\sin \dfrac{t}{2}$, если $t=-\dfrac{\pi}{3}$

Подход 1 (прямая подстановка и нечётность синуса):

Сначала находим половину угла:

$$\dfrac{t}{2}=\dfrac{-\pi/3}{2}=-\dfrac{\pi}{6}.$$

Вычисляем:

$$\sin\!\left(\dfrac{t}{2}\right)=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right).$$

Используем нечётность синуса: $\sin(-x)=-\sin x$. Тогда

$$\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}.$$

(Здесь $\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$ — табличное значение.)

Подход 2 (формула половинного угла с выбором знака):

Формула: $\displaystyle \sin\dfrac{t}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos t}{2}}$.

Находим $\cos t=\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ (чётность косинуса).

Подставляем:

$$\sqrt{\dfrac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\tfrac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{\tfrac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}.$$

Знак выбираем по знаку $\sin$ в четверти, где лежит $\dfrac{t}{2}=-\dfrac{\pi}{6}$ (IV четверть: синус отрицательный) ⇒ берём «минус»: $-\dfrac{1}{2}$.

Ответ: $-\dfrac{1}{2}$.

в) $\sin 2t$, если $t=-\dfrac{\pi}{6}$

Подход 1 (прямая подстановка и нечётность синуса):

Подставляем $t$:

$$\sin 2t=\sin\!\left(2\cdot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right).$$

Нечётность синуса: $\sin(-x)=-\sin x$ ⇒

$$\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

(Табличное: $\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.)

Подход 2 (формула двойного угла $\sin 2t=2\sin t\cos t$):

$\sin t=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$.

$\cos t=\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Перемножаем:

$$\sin 2t=2\sin t\cos t =2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $\cos \dfrac{t}{2}$, если $t=-\dfrac{\pi}{3}$

Подход 1 (прямая подстановка и чётность косинуса):

Половина угла: $\dfrac{t}{2}=-\dfrac{\pi}{6}$.

Вычисляем:

$$\cos\!\left(\dfrac{t}{2}\right)=\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right).$$

Чётность косинуса: $\cos(-x)=\cos x$ ⇒

$$\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

Подход 2 (формула половинного угла с выбором знака):

Формула: $\displaystyle \cos\dfrac{t}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos t}{2}}$.

$\cos t=\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$.

Подставляем:

$$\sqrt{\dfrac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\tfrac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{\tfrac{3}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

Знак выбираем по четверти для $\dfrac{t}{2}=-\dfrac{\pi}{6}$ (IV четверть: косинус положителен) ⇒ знак «плюс».

Ответ: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.