ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $\sin t + 1 = 0$;
$\sin t = -1$;
Подходящая точка:
$M(0; -1) = M\left(\frac{3\pi}{2}\right)$;
Ответ: $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

б) $\cos t — 1 = 0$;
$\cos t = 1$;
Подходящая точка:
$M(1; 0) = M(0)$;
Ответ: $t = 2\pi n$.

в) $1 — 2\sin t = 0$;
$2\sin t = 1$;
$\sin t = \frac{1}{2}$;
Подходящие точки:
$M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{6}\right)$;
$M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{6}\right)$;
Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

г) $2\cos t — 1 = 0$;
$2\cos t = 1$;
$\cos t = \frac{1}{2}$;
Подходящие точки:
$M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{3}\right)$;
$M_2\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{3}\right)$;
Соответствующие числа:
$t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
$t_2 = \frac{5\pi}{3} — 2\pi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Пользуемся тем, что:

• $\sin t$ и $\cos t$ — $2\pi$-периодические функции: $f(t+2\pi)=f(t)$.
• Точка на единичной окружности имеет координаты $M(\cos t;\,\sin t)$.
• «Базовые» общие решения:
  • $\sin t = a$ $\Rightarrow$ $t = (-1)^k\arcsin a + k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ (или парами по четвертям).
  • $\cos t = a$ $\Rightarrow$ $t = \pm\arccos a + 2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.

а) $\sin t + 1 = 0$

Шаг 1. Приводим к стандартному виду.

$$\sin t + 1 = 0 \;\Longleftrightarrow\; \sin t = -1.$$

Шаг 2. Где синус равен $-1$?
На единичной окружности $\sin t$ — это $y$-координата. Значение $-1$ достигается в нижней точке окружности $M(0;-1)$, соответствующей углу

$$t=\frac{3\pi}{2}.$$

Шаг 3. Учитываем период $2\pi$.
Все решения:

$$\boxed{\,t=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\,}.$$

Проверка.
$\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n\bigr)=\sin\tfrac{3\pi}{2}=-1$, уравнение верно.

б) $\cos t — 1 = 0$

Шаг 1. Приводим к стандартному виду.

$$\cos t — 1 = 0 \;\Longleftrightarrow\; \cos t = 1.$$

Шаг 2. Где косинус равен $1$?
Косинус — это $x$-координата. Значение $1$ соответствует правой крайней точке $M(1;0)$, т.е.

$$t=0.$$

Шаг 3. Учитываем период $2\pi$.

$$\boxed{\,t=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\,}.$$

Проверка.
$\cos(2\pi n)=1$, уравнение верно.

в) $1-2\sin t=0$

Шаг 1. Алгебра.

$$1-2\sin t=0 \;\Longleftrightarrow\; 2\sin t=1 \;\Longleftrightarrow\; \sin t=\frac12.$$

Шаг 2. Опорный угол (острый).
Найдём угол $\alpha\in[0,\tfrac{\pi}{2}]$, для которого $\sin\alpha=\tfrac12$. Это

$$\alpha=\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}.$$

Шаг 3. В каких четвертях синус положителен?
$\sin t>0$ в I и II четвертях. Значит, решения в пределах одного полного круга:

$$t_1=\frac{\pi}{6}\quad(\text{I четверть}),\qquad t_2=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\quad(\text{II четверть}).$$

Шаг 4. Общее решение с периодом $2\pi$.

$$\boxed{\,t=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{или}\quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\,}.$$

(Эквивалентно можно записать одной формулой: $t=(-1)^k\frac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$.)

Проверка.
$\sin\frac{\pi}{6}=\tfrac12$, $\sin\frac{5\pi}{6}=\tfrac12$.

г) $2\cos t-1=0$

Шаг 1. Алгебра.

$$2\cos t-1=0 \;\Longleftrightarrow\; 2\cos t=1 \;\Longleftrightarrow\; \cos t=\frac12.$$

Шаг 2. Опорный угол (острый).
Найдём $\beta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]$ с $\cos\beta=\tfrac12$. Это

$$\beta=\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}.$$

Шаг 3. В каких четвертях косинус положителен?
$\cos t>0$ в I и IV четвертях. Соответственно в пределах $[0,2\pi)$:

$$t_1=\frac{\pi}{3}\quad(\text{I четверть}),\qquad t_2=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\quad(\text{IV четверть}).$$

Шаг 4. Общее решение и эквивалентные формы.
Классическая запись:

$$\boxed{\,t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\,}.$$

(Замечание: $\frac{5\pi}{3}=\!-\,\frac{\pi}{3}+2\pi$, поэтому часто вторую ветку пишут как $-\frac{\pi}{3}+2\pi n$. Обе формы эквивалентны.)

Проверка.
$\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac12$, $\cos\!\bigl(-\frac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12$.

Итоги:

а) $t=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n$.

б) $t=2\pi n$.

в) $t=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ или $t=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$.

г) $t=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$.