ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Указать все значения $t$, при которых не имеет смысла выражение:

а) $\frac{\sin t — 1}{\cos t}$

Выражение не имеет смысла:
$\cos t = 0;$

Подходящие точки:
$M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right);$
$M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right);$

Соответствующие числа:
$t_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$
$t_2 = \frac{3\pi}{2} — 2\pi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Ответ:
$t = \frac{\pi}{2} + \pi n.$

б) $\frac{\cos t + 5}{2 \sin t — \sqrt{3}}$

Выражение не имеет смысла:
$2 \sin t — \sqrt{3} = 0;$
$2 \sin t = \sqrt{3};$
$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2};$

Подходящие точки:
$M_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{3}\right);$
$M_2\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{2\pi}{3}\right);$

Ответ:
$t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \quad t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$

в) $\frac{\cos t}{3 — 3 \sin t}$

Выражение не имеет смысла:
$3 — 3 \sin t = 0;$
$3 \sin t = 3;$
$\sin t = 1;$

Подходящая точка:
$M(0; 1) = M\left(\frac{\pi}{2}\right);$

Ответ:
$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$

г) $\frac{\sin t}{10 — 20 \cos t}$

Выражение не имеет смысла:
$10 — 20 \cos t = 0;$
$20 \cos t = 10;$
$\cos t = \frac{1}{2};$

Подходящие точки:
$M_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{3}\right);$
$M_2\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{3}\right);$

Соответствующие числа:
$t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$
$t_2 = \frac{5\pi}{3} — 2\pi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n;$

Ответ:
$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$

а) $\displaystyle \frac{\sin t — 1}{\cos t}$

Шаг 1. Знаменатель: $\cos t$.
Требуем $\cos t = 0$.

Шаг 2. Когда $\cos t=0$ на единичной окружности?
Это точки с абсциссой $x=0$:
$M_1(0,1)$ — угол $t=\dfrac{\pi}{2}$;
$M_2(0,-1)$ — угол $t=\dfrac{3\pi}{2}$.

Шаг 3. Учитываем период $2\pi$:
$t=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ и $t=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Шаг 4. Объединение в одну формулу (шаг $\pi$ между соседними корнями косинуса):

$$t=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Примечание. При $t=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ числитель тоже равен нулю ($\sin t-1=0$), но из-за нулевого знаменателя выражение всё равно не определено.

Ответ: $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$

б) $\displaystyle \frac{\cos t + 5}{2 \sin t — \sqrt{3}}$

Шаг 1. Знаменатель: $2\sin t-\sqrt{3}$.
Требуем $2\sin t-\sqrt{3}=0 \;\Longleftrightarrow\; \sin t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2. Когда $\sin t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$?
На единичной окружности это ордината $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, соответствуют углы:

$$t=\frac{\pi}{3}\quad\text{и}\quad t=\frac{2\pi}{3}.$$

Шаг 3. Учитываем период $2\pi$:

$$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Проверка числителя. $\cos t+5\in[4,6]$, никогда не равен нулю и не создаёт доп. ограничений.

Ответ: $\displaystyle t_1=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; t_2=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$

в) $\displaystyle \frac{\cos t}{3 — 3 \sin t}$

Шаг 1. Знаменатель: $3-3\sin t$.
Требуем $3-3\sin t=0 \;\Longleftrightarrow\; \sin t=1$.

Шаг 2. Когда $\sin t=1$?
Это верхняя точка окружности $M(0,1)$: угол

$$t=\frac{\pi}{2}.$$

Шаг 3. Учитываем период $2\pi$:

$$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$

г) $\displaystyle \frac{\sin t}{10 — 20 \cos t}$

Шаг 1. Знаменатель: $10-20\cos t$.
Требуем $10-20\cos t=0 \;\Longleftrightarrow\; \cos t=\dfrac{1}{2}$.

Шаг 2. Когда $\cos t=\dfrac{1}{2}$?
Главное значение $\arccos\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}$. Для косинуса общее решение:

$$t=\pm\arccos\!\left(\frac{1}{2}\right)+2\pi n \;=\; \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

что эквивалентно двум ветвям:

$$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad\text{и}\quad t=2\pi-\frac{\pi}{3}+2\pi n=\frac{5\pi}{3}+2\pi n \;\;(\text{то же, что } -\frac{\pi}{3}+2\pi n), \quad n\in\mathbb{Z}.$$

Шаг 3. Числитель $\sin t$ не влияет на область определения (он определён при всех $t$).

Ответ: $\displaystyle t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$