ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти синус, косинус и тангенс числа $t$, если:

а) $t=-2\pi$;

$$\sin t=\sin (-2\pi )=-\sin 2\pi =0;$$$$\cos t=\cos (-2\pi )=\cos 2\pi =1;$$$$\mathrm{tg}t=\mathrm{tg}(-2\pi )=0;$$

б) $t=-\frac{\pi }{2}$;

$$\sin t=\sin (-\frac{\pi }{2})=-\sin \frac{\pi }{2}=-1;$$$$\cos t=\cos (-\frac{\pi }{2})=\cos \frac{\pi }{2}=0;$$$$\mathrm{tg}t=\mathrm{tg}(-\frac{\pi }{2})-\text{нет};$$

в) $t=-\frac{3\pi }{2}$;

$$\sin t=\sin (-\frac{3\pi }{2})=-\sin \frac{3\pi }{2}=1;$$$$\cos t=\cos (-\frac{3\pi }{2})=\cos \frac{3\pi }{2}=0;$$$$\mathrm{tg}t=\mathrm{tg}(-\frac{3\pi }{2})-\text{нет};$$

г) $t=-\pi$;

$$\sin t=\sin (-\pi )=-\sin \pi =0;$$$$\cos t=\cos (-\pi )=\cos \pi =-1;$$$$\mathrm{tg}t=\mathrm{tg}(-\pi )=0$$

Опорные факты

Чётность/нечётность:

$$\sin (-x)=-\sin x,\cos (-x)=\cos x,\mathrm{tg}(-x)=-\mathrm{tg}x\mathrm{.}$$

Периодичность:

$$\sin (x+2\pi k)=\sin x,\cos (x+2\pi k)=\cos x,\mathrm{tg}(x+\pi k)=\mathrm{tg}x,k\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Значения на единичной окружности (точки $(\cos t,\sin t)$):

$$\begin{array}{cccccc}t& 0& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \\ \cos t& 1& 0& -1& 0& 1\\ \sin t& 0& 1& 0& -1& 0\end{array}$$

$$$$$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}\text{определён, когда }\cos t\mathrm{\ne }0.$$

То есть $\mathrm{tg}t$ не существует при $t=\frac{\pi }{2}+k\pi$ (там $\cos t=0$).

а) $t=-2\pi$

Шаг 1. Снимаем «минус» и/или периодичность.
Поскольку $\sin$ и $\cos$ периодичны с $2\pi$, а $-2\pi =0-2\pi$,

$$\sin (-2\pi )=\sin 0=0,\cos (-2\pi )=\cos 0=1.$$

(Эквивалентно: $\sin (-2\pi )=-\sin 2\pi =-0=0$, $\cos (-2\pi )=\cos 2\pi =1$.)

Шаг 2. Тангенс.

$$\mathrm{tg}(-2\pi )=\frac{\sin (-2\pi )}{\cos (-2\pi )}=\frac{0}{1}=0.$$

(Также верно и по периодичности $\mathrm{tg}$ с периодом $\pi$: $\mathrm{tg}(-2\pi )=\mathrm{tg}0=0$.)

Итог: $\boxed{{\displaystyle \sin (-2\pi )=0,\cos (-2\pi )=1,\mathrm{tg}(-2\pi )=0.}}$

б) $t=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Шаг 1. Используем нечётность/чётность.

$$\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\pi }{2})=-\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}\right)=-1,\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\pi }{2})=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}\right)=0.$$

Шаг 2. Тангенс как отношение.

$$\mathrm{tg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\pi }{2})=\frac{\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\pi }{2})}{\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\pi }{2})}=\frac{-1}{0}\mathrm{.}$$

Деление на ноль не определено $\Rightarrow$ $\mathrm{tg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\pi }{2})$ не существует.
(Это согласуется с общим правилом: $\frac{\pi }{2}+k\pi$ — точки разрыва $\mathrm{tg}$.)

Итог: $\boxed{{\displaystyle \sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\pi }{2})=-1,\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\pi }{2})=0,\mathrm{tg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{\pi }{2})\text{ не существует}\mathrm{.}}}$

в) $t=-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$

Шаг 1. Приводим к эквивалентному углу в $[0,2\pi )$:
$-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+2\pi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. По периодичности $\sin ,\cos$:

$$\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{3\pi }{2})=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}\right)=1,\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{3\pi }{2})=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}\right)=0.$$

(То же следует и из нечётности/чётности: $\sin (-x)=-\sin x$ с $x=\frac{3\pi }{2}$, где $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$, поэтому $-(-1)=1$; $\cos (-x)=\cos x=0$.)

Шаг 2. Тангенс.

$$\mathrm{tg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{3\pi }{2})=\frac{1}{0}\Rightarrow \text{не существует}\mathrm{.}$$

(Снова попали в точку вида $\frac{\pi }{2}+k\pi$.)

Итог: $\boxed{{\displaystyle \sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{3\pi }{2})=1,\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{3\pi }{2})=0,\mathrm{tg}\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{3\pi }{2})\text{ не существует}\mathrm{.}}}$

г) $t=-\pi$

Шаг 1. По чётности/нечётности:

$$\sin (-\pi )=-\sin \pi =-0=0,\cos (-\pi )=\cos \pi =-1.$$

Шаг 2. Тангенс.

$$\mathrm{tg}(-\pi )=\frac{\sin (-\pi )}{\cos (-\pi )}=\frac{0}{-1}=0,$$

или по периодичности $\mathrm{tg}$ с периодом $\pi$: $\mathrm{tg}(-\pi )=\mathrm{tg}0=0$.

Итог: $\boxed{{\displaystyle \sin (-\pi )=0,\cos (-\pi )=-1,\mathrm{tg}(-\pi )=0.}}$