ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить знак числа:

а) $\operatorname{tg} \frac{6\pi}{7}$;
$\frac{\pi}{2} < \frac{6\pi}{7} < \pi$;
Ответ: минус.

б) $\operatorname{ctg} \frac{10\pi}{9}$;
$\pi < \frac{10\pi}{9} < \frac{3\pi}{2}$;
Ответ: плюс.

в) $\operatorname{tg} \frac{8\pi}{11}$;
$\frac{\pi}{2} < \frac{8\pi}{11} < \pi$;
Ответ: минус.

г) $\operatorname{ctg} \frac{11\pi}{5} = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{5}$;
$0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$;
Ответ: плюс.

Напоминалка:

• $\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$.
• Знаки по четвертям:
  • I: $\sin>0,\ \cos>0$ $\Rightarrow$ $\tg>0,\ \ctg>0$
  • II: $\sin>0,\ \cos<0$ $\Rightarrow$ $\tg<0,\ \ctg<0$
  • III: $\sin<0,\ \cos<0$ $\Rightarrow$ $\tg>0,\ \ctg>0$
  • IV: $\sin<0,\ \cos>0$ $\Rightarrow$ $\tg<0,\ \ctg<0$
• Полезные приведения:
  • $\tg(\pi-x)=-\tg x$, $\tg(\pi+x)=\tg x$ (период $\pi$).
  • $\ctg(\pi-x)=-\ctg x$, $\ctg(\pi+x)=\ctg x$ (период $\pi$).
  • Также $\tg(x+2\pi)=\tg x$, $\ctg(x+2\pi)=\ctg x$.

а) $\displaystyle \tg\frac{6\pi}{7}$

Шаг 1. Где лежит угол?

• $\frac{6\pi}{7}>\frac{\pi}{2}$, потому что $\frac{6}{7}>\frac{1}{2}$.
• $\frac{6\pi}{7}<\pi$, потому что $\frac{6}{7}<1$.

Значит $\dfrac{6\pi}{7}\in(\frac{\pi}{2},\pi)$ — II четверть.

Шаг 2. Знак через четверть

Во II четверти $\sin>0,\ \cos<0$, поэтому
$\tg=\dfrac{\sin}{\cos}<0$.
Ответ: минус.

Шаг 3. Проверка формулой приведения

$$\frac{6\pi}{7}=\pi-\frac{\pi}{7}\ \Rightarrow\ \tg\!\left(\pi-\frac{\pi}{7}\right)=-\tg\!\left(\frac{\pi}{7}\right)<0.$$

Сходится.

б) $\displaystyle \ctg\frac{10\pi}{9}$

Шаг 1. Где лежит угол?

• $\frac{10\pi}{9}>\pi$ (так как $10/9>1$).
• $\frac{10\pi}{9}<\frac{3\pi}{2}$ (так как $10/9\approx1{,}11<1{,}5$).

Значит $\dfrac{10\pi}{9}\in(\pi,\tfrac{3\pi}{2})$ — III четверть.

Шаг 2. Знак через четверть

В III четверти $\sin<0,\ \cos<0$, поэтому
$\ctg=\dfrac{\cos}{\sin}>0$.
Ответ: плюс.

Шаг 3. Проверка формулой приведения

$$\frac{10\pi}{9}=\pi+\frac{\pi}{9}\ \Rightarrow\ \ctg\!\left(\pi+\frac{\pi}{9}\right)=\ctg\!\left(\frac{\pi}{9}\right)>0.$$

Сходится.

в) $\displaystyle \tg\frac{8\pi}{11}$

Шаг 1. Где лежит угол?

• $\frac{8\pi}{11}>\frac{\pi}{2}$, т.к. $8/11\approx0{,}727>0{,}5$.
• $\frac{8\pi}{11}<\pi$, т.к. $8/11<1$.

Значит $\dfrac{8\pi}{11}\in(\frac{\pi}{2},\pi)$ — II четверть.

Шаг 2. Знак через четверть

Во II четверти $\sin>0,\ \cos<0$, поэтому
$\tg=\dfrac{\sin}{\cos}<0$.
Ответ: минус.

Шаг 3. Проверка формулой приведения

$$\frac{8\pi}{11}=\pi-\frac{3\pi}{11}\ \Rightarrow\ \tg\!\left(\pi-\frac{3\pi}{11}\right)=-\tg\!\left(\frac{3\pi}{11}\right)<0.$$

Сходится.

г) $\displaystyle \ctg\frac{11\pi}{5}$

Шаг 1. Приведение по периодичности

$$\frac{11\pi}{5}=2\pi+\frac{\pi}{5} \quad\Rightarrow\quad \ctg\!\left(\frac{11\pi}{5}\right)=\ctg\!\left(\frac{\pi}{5}\right)$$

(у $\ctg$ период $\pi$).

Шаг 2. Где лежит $\boldsymbol{\frac{\pi}{5}}$?

$\dfrac{\pi}{5}\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ — I четверть.

Шаг 3. Знак через четверть

В I четверти $\sin>0,\ \cos>0$, поэтому
$\ctg=\dfrac{\cos}{\sin}>0$.
Ответ: плюс.

Альтернатива без периода

Можно так: $\dfrac{11\pi}{5}\in(2\pi,\tfrac{5\pi}{2})$ — IV четверть, где $\sin<0,\ \cos>0$, значит «напрямую» $\ctg<0$. Но это ловушка: сначала нужно сократить период $\pi$ (или привести угол к $(0,\pi)$). После приведения получаем $\ctg(\pi/5)>0$. Поэтому корректный вывод — плюс.

Итог:

а) $\tg\frac{6\pi}{7}<0$ — минус.

б) $\ctg\frac{10\pi}{9}>0$ — плюс.

в) $\tg\frac{8\pi}{11}<0$ — минус.

г) $\ctg\frac{11\pi}{5}=\ctg\frac{\pi}{5}>0$ — плюс.