ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить знак числа:

а) $\sin(-2)$;

$3 < \pi < 4$;

$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2$;

$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$;

$-\pi < -2 < -\frac{\pi}{2}$;

$\pi < 2\pi — 2 < \frac{3\pi}{2}$;

Ответ: минус.

б) $\cos(3)$;

$3 < \pi < 4$;

$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2$;

$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$;

Ответ: минус.

в) $\sin(5)$;

$3,1 < \pi < 3,2$;

$6,2 < 2\pi < 6,4$;

$4,65 < \frac{3\pi}{2} < 4,8$;

$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$;

Ответ: минус.

г) $\cos(-6)$;

$3 < \pi < 4$;

$6 < 2\pi < 8$;

$4,5 < \frac{3\pi}{2} < 6$;

$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$;

$-2\pi < -6 < -\frac{3\pi}{2}$;

$0 < 2\pi — 6 < \frac{\pi}{2}$;

Ответ: плюс.

Полезные факты:

Чётность/нечётность:

• $\sin(-x)=-\sin x$ (нечётная),
• $\cos(-x)=\cos x$ (чётная).

Периодичность: $\sin(x+2\pi k)=\sin x$, $\cos(x+2\pi k)=\cos x$.

«Зеркала» на кругах:

• $\sin(2\pi-x)= -\sin x$, $\cos(2\pi-x)=\cos x$;
• $\sin(\pi-x)=\sin x$, $\cos(\pi-x)=-\cos x$.

Знаки по четвертям (на $[0,2\pi)$):

• I: $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$: $\sin>0$, $\cos>0$.
  II: $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$: $\sin>0$, $\cos<0$.
  III: $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$: $\sin<0$, $\cos<0$.
  IV: $\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$: $\sin<0$, $\cos>0$.

а) $\sin(-2)$

Шаг 1. Локализация угла $2$ по данным из условия:
$1{,}5<\frac{\pi}{2}<2$ и $\frac{\pi}{2}<2<\pi$. Значит $2$ — во II четверти.
Во II четверти $\sin 2>0$.

Шаг 2. Учитываем нечётность синуса:
$\sin(-2)=-\sin 2$. Поскольку $\sin 2>0$, то $\sin(-2)<0$.

Эквивалентная проверка через $2\pi-2$:
Из условия $\pi<2\pi-2<\frac{3\pi}{2}$, т.е. $2\pi-2$ — в III четверти, где $\sin<0$.
А $\sin(-2)=\sin(2\pi-2)=-\sin 2<0$. Совпало.

Вывод: знак $\sin(-2)$ — минус.

б) $\cos(3)$

Шаг 1. Локализация: $\frac{\pi}{2}<3<\pi$ (из условия). Это II четверть.

Шаг 2. Во II четверти $\cos<0$.
Можно также записать: $3=\pi-(\pi-3)$, где $0<\pi-3<\frac{\pi}{2}$, и
$\cos 3=\cos(\pi-(\pi-3))=-\cos(\pi-3)<0$.

Вывод: знак $\cos(3)$ — минус.

в) $\sin(5)$

Шаг 1. Уточнение диапазонов (дано):
$3{,}1<\pi<3{,}2$, $6{,}2<2\pi<6{,}4$, $4{,}65<\frac{3\pi}{2}<4{,}8$.
Из условия: $\frac{3\pi}{2}<5<2\pi$. Значит $5$ — в IV четверти.

Шаг 2. В IV четверти $\sin<0$.
Ещё вариант: $\sin 5=-\sin(2\pi-5)$, а $0<2\pi-5<\frac{\pi}{2}$ ⇒ $\sin(2\pi-5)>0$, так что $\sin 5<0$.

Вывод: знак $\sin(5)$ — минус.

г) $\cos(-6)$

Шаг 1. Чётность косинуса: $\cos(-6)=\cos 6$. Достаточно понять знак $\cos 6$.

Шаг 2. Локализация $6$: из условия $6<2\pi<8$ и $\frac{3\pi}{2}<6<2\pi$.
Следовательно, $6$ — в IV четверти, где $\cos>0$.

Эквивалентная проверка через редукцию:
Также дано $0<2\pi-6<\frac{\pi}{2}$ (это I четверть).
$\cos 6=\cos(2\pi-(2\pi-6))=\cos(2\pi- (2\pi-6))=\cos(2\pi-6)$, а в I четверти $\cos>0$.

Вывод: знак $\cos(-6)$ — плюс.

Итог по пунктам

а) $\sin(-2)$ — минус.

б) $\cos(3)$ — минус.

в) $\sin(5)$ — минус.

г) $\cos(-6)$ — плюс.