ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить знак числа:

а) $\sin 1 \cdot \cos 2$;

Первый множитель:
$3 < \pi < 4;$
$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$
$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$
$\sin 1 > 0;$

Второй множитель:
$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$
$\cos 2 < 0;$

Ответ: минус.

б) $\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \left( -\frac{7\pi}{5} \right)$;

Первый множитель:
$0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2};$
$\sin \frac{\pi}{7} > 0;$

Второй множитель:
$-\frac{3\pi}{2} < -\frac{7\pi}{5} < -\pi;$
$\frac{\pi}{2} < 2\pi — \frac{7\pi}{5} < \pi;$
$\cos \left( -\frac{7\pi}{5} \right) < 0;$

Ответ: минус.

в) $\cos 2 \cdot \sin(-3)$;

Первый множитель:
$3 < \pi < 4;$
$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2;$
$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$
$\cos 2 < 0;$

Второй множитель:
$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi;$
$-\pi < -3 < -\frac{\pi}{2};$
$\pi < 2\pi — 3 < \frac{3\pi}{2};$
$\sin(-3) < 0;$

Ответ: плюс.

г) $\cos \left( -\frac{14\pi}{9} \right) \cdot \sin \left( -\frac{4\pi}{9} \right)$;

Первый множитель:
$-2\pi < -\frac{14\pi}{9} < -\frac{3\pi}{2};$
$0 < 2\pi — \frac{14\pi}{9} < \frac{\pi}{2};$
$\cos \left( -\frac{14\pi}{9} \right) > 0;$

Второй множитель:
$-\frac{\pi}{2} < -\frac{4\pi}{9} < 0;$
$\frac{3\pi}{2} < 2\pi — \frac{4\pi}{9} < 2\pi;$
$\sin \left( -\frac{4\pi}{9} \right) < 0;$

Ответ: минус.

а) $\sin 1 \cdot \cos 2$

Шаг 1. Знак $\sin 1$

• Из $0<1<\frac{\pi}{2}$ (так как $1<1.5<\frac{\pi}{2}$) следует, что угол $1$ радиан попадает в I четверть.
• В I четверти $\sin>0$.
  Итого: $\sin 1>0$.

Шаг 2. Знак $\cos 2$

• Используем $1.5<\frac{\pi}{2}<2<\pi$. Значит $2\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$, то есть II четверть.
• В II четверти $\cos<0$.
  Итого: $\cos 2<0$.

Шаг 3. Знак произведения

Плюс $\times$ минус $=$ минус.

Ответ для (а): минус.

быстрая альтернатива-проверка: $1\text{ рад}\approx57.3^\circ\Rightarrow\sin 1>0$; $2\text{ рад}\approx114.6^\circ\Rightarrow\cos 2<0$.

б) $\sin\!\left(\frac{\pi}{7}\right)\cdot \cos\!\left(-\frac{7\pi}{5}\right)$

Шаг 1. Знак $\sin\!\left(\frac{\pi}{7}\right)$

• $0<\frac{\pi}{7}<\frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{\pi}{7}\approx0{.}448<1{.}571=\frac{\pi}{2}$). Это I четверть.
• В I четверти $\sin>0$.
  Итого: $\sin\!\left(\frac{\pi}{7}\right)>0$.

Шаг 2. Знак $\cos\!\left(-\frac{7\pi}{5}\right)$

Есть два равноценных пути.

Путь A (чётность косинуса):
$\cos(-x)=\cos x\Rightarrow \cos\!\left(-\frac{7\pi}{5}\right)=\cos\!\left(\frac{7\pi}{5}\right)$.
$\frac{7\pi}{5}=1.4\pi\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ — это III четверть, где $\cos<0$.
Значит $\cos\!\left(-\frac{7\pi}{5}\right)<0$.

Путь B (приведение к главному значению):
Добавим $2\pi$: $-\frac{7\pi}{5}+2\pi=\frac{3\pi}{5}\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ — II четверть, где $\cos<0$.
Знак тот же: $\cos\!\left(-\frac{7\pi}{5}\right)<0$.

Шаг 3. Знак произведения

Плюс $\times$ минус $=$ минус.

Ответ для (б): минус.

в) $\cos 2 \cdot \sin(-3)$

Шаг 1. Знак $\cos 2$

Как в пункте (а): $2\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ — II четверть, потому $\cos 2<0$.

Шаг 2. Знак $\sin(-3)$

Используем нечётность синуса: $\sin(-x)=-\sin x\Rightarrow \sin(-3)=-\sin 3$.

Теперь определим знак $\sin 3$:

• $3\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ (так как $1.5<\frac{\pi}{2}<3<\pi$). Это II четверть.
• В II четверти $\sin>0$. Следовательно, $\sin 3>0$.

Отсюда $\sin(-3)=-\sin 3<0$.

Альтернативная редукция:
Можно привести $-3$ к $(0,2\pi)$: $-3+2\pi=2\pi-3\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ — III четверть, где $\sin<0$. Тот же вывод.

Шаг 3. Знак произведения

Минус $\times$ минус $=$ плюс.

Ответ для (в): плюс.

г) $\displaystyle \cos\!\left(-\frac{14\pi}{9}\right)\cdot \sin\!\left(-\frac{4\pi}{9}\right)$

Шаг 1. Знак $\cos\!\left(-\frac{14\pi}{9}\right)$

Два удобных способа.

Путь A (чётность $\cos$):
$\cos(-x)=\cos x\Rightarrow \cos\!\left(-\frac{14\pi}{9}\right)=\cos\!\left(\frac{14\pi}{9}\right)$.
Разложим $\frac{14\pi}{9}=\pi+\frac{5\pi}{9}$. Тогда
$\cos\!\left(\pi+\alpha\right)=-\cos\alpha\Rightarrow \cos\!\left(\frac{14\pi}{9}\right)=-\cos\!\left(\frac{5\pi}{9}\right)$.
$\frac{5\pi}{9}\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ (это $100^\circ$), где $\cos$ отрицателен; значит $\cos\!\left(\frac{5\pi}{9}\right)<0$.
Следовательно, $-\cos\!\left(\frac{5\pi}{9}\right)>0$.
Итак, $\cos\!\left(-\frac{14\pi}{9}\right)>0$.

Путь B (приведение к главному значению):
Добавим $2\pi$: $-\frac{14\pi}{9}+2\pi=\frac{4\pi}{9}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ — I четверть, где $\cos>0$. Тот же знак.

Шаг 2. Знак $\sin\!\left(-\frac{4\pi}{9}\right)$

Используем нечётность $\sin$:
$\sin\!\left(-\frac{4\pi}{9}\right)=-\sin\!\left(\frac{4\pi}{9}\right)$.

Теперь $\frac{4\pi}{9}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ — I четверть, где $\sin>0$.
Значит $-\sin\!\left(\frac{4\pi}{9}\right)<0$.
Итого: $\sin\!\left(-\frac{4\pi}{9}\right)<0$.

(Эквивалентно: $-\frac{4\pi}{9}+2\pi=\frac{14\pi}{9}\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$ — IV четверть, где $\sin<0$.)

Шаг 3. Знак произведения

Плюс $\times$ минус $=$ минус.

Ответ для (г): минус.