ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\sin^2(1,5 + 2\pi k) + \cos^2 1,5 + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) =$

$= (\sin^2 1,5 + \cos^2 1,5) + \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{6} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2};$

Ответ: $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$.

б) $\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + 4\pi\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{8} — 44\pi\right) = \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} = 1;$

Ответ: 1.

a) $\sin^2(1{,}5 + 2\pi k) + \cos^2 1{,}5 + \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$

Шаг 1. Периодичность синуса.
$\sin(x + 2\pi k) = \sin x$ для любого целого $k$.
Отсюда $\sin^2(1{,}5 + 2\pi k) = \sin^2(1{,}5)$.

Шаг 2. Сложить $\sin^2$ и $\cos^2$ одного и того же аргумента.
Основное тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Берём $\alpha = 1{,}5$:

$$\sin^2(1{,}5) + \cos^2(1{,}5) = 1.$$

Шаг 3. Чётность/нечётность тригонометрических функций.
$\cos(-\theta)=\cos \theta$ (чётная), $\sin(-\theta)=-\sin \theta$ (нечётная).
Значит:

$$\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right), \qquad \sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

Шаг 4. Точные значения на единичной окружности.
$\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}$,
$\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$.
Тогда:

$$\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}.$$

Шаг 5. Собираем всё вместе.

$$\underset{=1}{\underbrace{({\sin }^2(\mathrm{1,5})+{\cos }^2(\mathrm{1,5}))}}+\frac{\sqrt{2}}{2}+(-\frac{1}{2})=1+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}=$$

$$\underbrace{\big(\sin^2(1{,}5)+\cos^2(1{,}5)\big)}_{=1} \;+\; \frac{\sqrt2}{2} \;+\; \left(-\frac{1}{2}\right) = 1+\frac{\sqrt2}{2}-\frac{1}{2} = \frac{2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt2+1}{2}.$$

Ответ к а): $\displaystyle \frac{\sqrt2+1}{2}$.

б) $\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}+4\pi\right) + \sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}-44\pi\right)$

Шаг 1. Периодичность косинуса и синуса.
$\cos(x+2\pi n)=\cos x$, $\sin(x+2\pi n)=\sin x$ при любом целому $n$.

• Для первого слагаемого: $4\pi=2\pi\cdot 2\Rightarrow \cos\!\left(\dfrac{\pi}{8}+4\pi\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$, значит
  $\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}+4\pi\right)=\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.
• Для второго: $-44\pi=2\pi\cdot(-22)\Rightarrow \sin\!\left(\dfrac{\pi}{8}-44\pi\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$, значит
  $\sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}-44\pi\right)=\sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.

Шаг 2. Применяем основное тождество.

$$\cos^2\!\left(\frac{\pi}{8}\right)+\sin^2\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=1.$$

Ответ к б): $1$.