ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\operatorname{tg} 2,5 \cdot \operatorname{ctg} 2,5 + \cos^2 \pi — \sin^2 \frac{\pi}{8} — \cos^2 \frac{\pi}{8} =$

$= 1 + (-1)^2 — \left( \sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} \right) = 1 + 1 — 1 = 1;$

Ответ: 1.

б) $\sin^2 \frac{3\pi}{7} — 2 \operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 1 + \cos^2 \left( -\frac{3\pi}{7} \right) + \sin^2 \frac{5\pi}{2} =$

$= \left( \sin^2 \frac{3\pi}{7} + \cos^2 \frac{3\pi}{7} \right) — 2 \cdot 1 + \sin^2 \left( \frac{5\pi}{2} — 2\pi \right) =$

$= 1 — 2 + \sin^2 \frac{\pi}{2} = -1 + 1^2 = 0;$

Ответ: 0.

а)

Вычислить:

$$\operatorname{tg} 2{,}5 \cdot \operatorname{ctg} 2{,}5 + \cos^2 \pi — \sin^2 \frac{\pi}{8} — \cos^2 \frac{\pi}{8}.$$

Шаг 1. Произведение $\tan x$ и $\cot x$

По определению

$$\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}.$$

Отсюда при $\sin x\neq0$ и $\cos x\neq0$:

$$\operatorname{tg}x\cdot \operatorname{ctg}x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=1.$$

Для $x=2{,}5$ условия выполнены: $2{,}5$ не равно $\frac{\pi}{2}+k\pi$ (где $\cos x=0$) и не равно $k\pi$ (где $\sin x=0$).
Значит,

$$\operatorname{tg} 2{,}5\cdot \operatorname{ctg} 2{,}5=1.$$

Шаг 2. Квадрат косинуса $\pi$

$\cos \pi=-1$ (точка $(-1,0)$ на единичной окружности), значит

$$\cos^2\pi=(-1)^2=1.$$

Шаг 3. Тождество Пифагора

Для любого $\alpha$:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

При $\alpha=\frac{\pi}{8}$ получаем

$$\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}=1.$$

Шаг 4. Собираем всё

$$\underbrace{\operatorname{tg} 2{,}5\cdot \operatorname{ctg} 2{,}5}_{=1} +\underbrace{\cos^2\pi}_{=1} -\underbrace{\bigl(\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}\bigr)}_{=1} =1+1-1=1.$$

Ответ: 1.

б)

Вычислить:

$$\sin^2 \frac{3\pi}{7} — 2 \operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 1 + \cos^2 \!\left(-\frac{3\pi}{7}\right) + \sin^2 \frac{5\pi}{2}.$$

Шаг 1. Упростим $\cos^2(-x)$

Косинус — чётная функция: $\cos(-x)=\cos x$. Тогда

$$\cos^2\!\left(-\frac{3\pi}{7}\right)=\cos^2\!\left(\frac{3\pi}{7}\right).$$

Шаг 2. Снова произведение $\tan$ и $\cot$

Как и выше,

$$\operatorname{tg}1\cdot \operatorname{ctg}1=1,$$

поскольку $1$ не равен $\frac{\pi}{2}+k\pi$ и не равен $k\pi$, так что обе функции определены. Следовательно,

$$-2\operatorname{tg}1\cdot \operatorname{ctg}1=-2\cdot 1=-2.$$

Шаг 3. Тождество Пифагора для одного и того же угла

Теперь в сумме первых и третьих слагаемых один и тот же угол $\frac{3\pi}{7}$:

$$\sin^2 \frac{3\pi}{7} + \cos^2 \frac{3\pi}{7}=1.$$

Шаг 4. Периодичность синуса

$$\sin(x+2\pi k)=\sin x.$$

Заметим, что

$$\frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \sin \frac{5\pi}{2}=\sin \frac{\pi}{2}=1,$$

откуда

$$\sin^2 \frac{5\pi}{2}=1^2=1.$$

Шаг 5. Собираем всё

$$\underbrace{\bigl(\sin^2 \tfrac{3\pi}{7}+\cos^2 \tfrac{3\pi}{7}\bigr)}_{=1} \ \underbrace{-\ 2\operatorname{tg}1\cdot \operatorname{ctg}1}_{=-2} \ +\ \underbrace{\sin^2 \tfrac{5\pi}{2}}_{=1} =1-2+1=0.$$

Ответ: 0.