ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти синус, косинус и тангенс числа $t$, если:

а) $t = \frac{5\pi}{6}$;

$$\sin t = \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2};$$ $$\cos t = \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\tg t = \tg \frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}};$$

б) $t = \frac{5\pi}{4}$;

$$\sin t = \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos t = \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\tg t = \tg \frac{5\pi}{4} = 1;$$

в) $t = \frac{7\pi}{6}$;

$$\sin t = \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2};$$ $$\cos t = \cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\tg t = \tg \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$

г) $t = \frac{7\pi}{4}$;

$$\sin t = \sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos t = \cos \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\tg t = \tg \frac{7\pi}{4} = -1$$

Что нам заранее нужно

Перевод в градусы (чтобы проще видеть четверть):
$\pi \text{ рад} = 180^\circ$.

Опорные значения:

• Для $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ (30°):
  $\sin \alpha=\dfrac12,\quad \cos \alpha=\dfrac{\sqrt3}{2},\quad \tg \alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}$.
• Для $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ (45°):
  $\sin \alpha=\dfrac{\sqrt2}{2},\quad \cos \alpha=\dfrac{\sqrt2}{2},\quad \tg \alpha=1$.

Знаки по четвертям (ASTC: + + − − по синусу/косинусу):

• I четверть (0–90°): $\sin>0,\ \cos>0,\ \tg>0$
• II четверть (90–180°): $\sin>0,\ \cos<0,\ \tg<0$
• III четверть (180–270°): $\sin<0,\ \cos<0,\ \tg>0$
• IV четверть (270–360°): $\sin<0,\ \cos>0,\ \tg<0$

Симметрии (очень удобно для знаков):

• $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,\quad \tg(\pi-\alpha)=-\tg\alpha$.
• $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\quad \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha,\quad \tg(\pi+\alpha)=\tg\alpha$.
• $\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha,\quad \cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha,\quad \tg(2\pi-\alpha)=-\tg\alpha$.

а) $t=\dfrac{5\pi}{6}$

Шаг 1. Четверть и опорный угол.
$\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{5\cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ$. Это II четверть.
Опорный угол: $\alpha = \pi — \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6}$ (то есть 30°).

Шаг 2. Базовые значения и знаки.
В II четверти: $\sin>0,\ \cos<0,\ \tg<0$.
Для $\alpha=\pi/6$: $\sin\alpha=\tfrac12,\ \cos\alpha=\tfrac{\sqrt3}{2},\ \tg\alpha=\tfrac{1}{\sqrt3}$.

Шаг 3. Применяем симметрии.
$\sin\!\left(\pi-\alpha\right)=\sin\alpha=\tfrac12 \Rightarrow \sin t=\tfrac12$.
$\cos\!\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha=-\tfrac{\sqrt3}{2} \Rightarrow \cos t=-\tfrac{\sqrt3}{2}$.
$\tg\!\left(\pi-\alpha\right)=-\tg\alpha=-\tfrac{1}{\sqrt3} \Rightarrow \tg t=-\tfrac{1}{\sqrt3}$.

Итог (а):

$$\sin t=\frac12,\qquad \cos t=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \tg t=-\frac{1}{\sqrt3}.$$

(Примечание: $-\tfrac{1}{\sqrt3}=-\tfrac{\sqrt3}{3}$; обе формы равны.)

б) $t=\dfrac{5\pi}{4}$

Шаг 1. Четверть и опорный угол.
$\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{5\cdot 180^\circ}{4} = 225^\circ$. Это III четверть.
Опорный угол: $\alpha = \dfrac{5\pi}{4}-\pi=\dfrac{\pi}{4}$ (45°).

Шаг 2. Базовые значения и знаки.
В III четверти: $\sin<0,\ \cos<0,\ \tg>0$.
Для $\alpha=\pi/4$: $\sin\alpha=\tfrac{\sqrt2}{2},\ \cos\alpha=\tfrac{\sqrt2}{2},\ \tg\alpha=1$.

Шаг 3. Применяем симметрии.
$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha=-\tfrac{\sqrt2}{2} \Rightarrow \sin t=-\tfrac{\sqrt2}{2}$.
$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha=-\tfrac{\sqrt2}{2} \Rightarrow \cos t=-\tfrac{\sqrt2}{2}$.
$\tg(\pi+\alpha)=\tg\alpha=1 \Rightarrow \tg t=1$.

Итог (б):

$$\sin t=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos t=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \tg t=1.$$

в) $t=\dfrac{7\pi}{6}$

Шаг 1. Четверть и опорный угол.
$\dfrac{7\pi}{6} = \dfrac{7\cdot 180^\circ}{6} = 210^\circ$. Это снова III четверть.
Опорный угол: $\alpha = \dfrac{7\pi}{6}-\pi=\dfrac{\pi}{6}$ (30°).

Шаг 2. Базовые значения и знаки.
В III четверти: $\sin<0,\ \cos<0,\ \tg>0$.
Для $\alpha=\pi/6$: $\sin\alpha=\tfrac12,\ \cos\alpha=\tfrac{\sqrt3}{2},\ \tg\alpha=\tfrac{1}{\sqrt3}$.

Шаг 3. Применяем симметрии.
$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha=-\tfrac12 \Rightarrow \sin t=-\tfrac12$.
$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha=-\tfrac{\sqrt3}{2} \Rightarrow \cos t=-\tfrac{\sqrt3}{2}$.
$\tg(\pi+\alpha)=\tg\alpha=\tfrac{1}{\sqrt3} \Rightarrow \tg t=\tfrac{1}{\sqrt3}$.

Итог (в):

$$\sin t=-\frac12,\qquad \cos t=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \tg t=\frac{1}{\sqrt3}.$$

г) $t=\dfrac{7\pi}{4}$

Шаг 1. Четверть и опорный угол.
$\dfrac{7\pi}{4} = \dfrac{7\cdot 180^\circ}{4} = 315^\circ$. Это IV четверть.
Опорный угол: $\alpha = 2\pi-\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$ (45°).

Шаг 2. Базовые значения и знаки.
В IV четверти: $\sin<0,\ \cos>0,\ \tg<0$.
Для $\alpha=\pi/4$: $\sin\alpha=\tfrac{\sqrt2}{2},\ \cos\alpha=\tfrac{\sqrt2}{2},\ \tg\alpha=1$.

Шаг 3. Применяем симметрии.
$\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha=-\tfrac{\sqrt2}{2} \Rightarrow \sin t=-\tfrac{\sqrt2}{2}$.
$\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha=\tfrac{\sqrt2}{2} \Rightarrow \cos t=\tfrac{\sqrt2}{2}$.
$\tg(2\pi-\alpha)=-\tg\alpha=-1 \Rightarrow \tg t=-1$.

Итог (г):

$$\sin t=-\frac{\sqrt{2}}{2},\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2},\mathrm{tg}t=-1.$$