ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравнить числа $a$ и $b$, если:

а) $a = \sin \frac{7\pi}{10}$, $b = \sin \frac{5\pi}{6}$;

$\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{10} < \frac{5\pi}{6} < \pi$;

$\sin \frac{7\pi}{10} > \sin \frac{5\pi}{6}$;

Ответ: $a > b$.

б) $a = \cos 2$, $b = \sin 2$;

$3 < \pi < 4$;

$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2$;

$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$;

$\cos 2 < 0 < \sin 2$;

Ответ: $a < b$.

в) $a = \cos \frac{\pi}{8}$, $b = \cos \frac{\pi}{3}$;

$0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$;

$\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{\pi}{3}$;

Ответ: $a > b$.

г) $a = \sin 1$, $b = \cos 1$;

$3 < \pi < 4$;

$1,5 < \frac{\pi}{2} < 2$;

$0,75 < \frac{\pi}{4} < 1$;

$\frac{\pi}{4} < 1 < \frac{\pi}{2}$;

$\sin 1 > \cos 1$;

Ответ: $a > b$.

а) $a=\sin\frac{7\pi}{10}$, $b=\sin\frac{5\pi}{6}$

Шаг 1. Сравним аргументы.

$$\frac{5\pi}{6}-\frac{7\pi}{10} =\frac{25\pi-21\pi}{30} =\frac{4\pi}{30} =\frac{2\pi}{15}>0 \;\Rightarrow\; \frac{7\pi}{10}<\frac{5\pi}{6}.$$

Обе точки лежат во втором квадранте: $\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{7\pi}{10}<\dfrac{5\pi}{6}<\pi$.

Шаг 2. Монотонность $\sin x$ на $(\frac{\pi}{2},\pi)$.
$\sin’ x=\cos x<0$ на $(\frac{\pi}{2},\pi)$, значит $\sin x$ убывает на этом интервале.

Шаг 3. Делайте вывод.
При меньшем аргументе синус больше:

$$\sin\frac{7\pi}{10}>\sin\frac{5\pi}{6}.$$

Шаг 4. Проверка известным значением.
$\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$.
$\dfrac{7\pi}{10}=126^\circ=180^\circ-54^\circ\Rightarrow \sin\dfrac{7\pi}{10}=\sin54^\circ\approx0{,}809>\tfrac12$.

Ответ: $a>b$.

б) $a=\cos2$, $b=\sin2$ (углы в радианах)

Шаг 1. Уточним, где лежит $2$.
Знаем $3<\pi<4\Rightarrow 1{,}5<\dfrac{\pi}{2}<2<\pi$.
Значит $2\in\big(\dfrac{\pi}{2},\pi\big)$ — это II квадрант.

Шаг 2. Знаки синуса и косинуса в II квадранте.
В II квадранте: $\sin x>0$, $\cos x<0$.

Шаг 3. Делайте вывод.

$$\cos2<0<\sin2\;\Rightarrow\; \cos2<\sin2.$$

(Опц.) Числовая проверка: $\sin2\approx0{,}9093$, $\cos2\approx-0{,}4161$.

Ответ: $a<b$.

в) $a=\cos\frac{\pi}{8}$, $b=\cos\frac{\pi}{3}$

Шаг 1. Сравним аргументы и интервал.

$$0<\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2},$$

всё в I квадранте.

Шаг 2. Монотонность $\cos x$ на $(0,\pi)$.
$\cos’ x=-\sin x<0$ на $(0,\pi)$, значит $\cos x$ убывает на $(0,\pi)$; в частности — на $(0,\frac{\pi}{2})$.

Шаг 3. Делайте вывод.
При меньшем аргументе косинус больше:

$$\cos\frac{\pi}{8}>\cos\frac{\pi}{3}.$$

Шаг 4. Проверка известным значением.
$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$.
$\cos\dfrac{\pi}{8}=\cos22{,}5^\circ=\sqrt{\dfrac{1+\cos\dfrac{\pi}{4}}{2}} =\sqrt{\dfrac{1+\tfrac{\sqrt2}{2}}{2}}\approx0{,}9239>\tfrac12$.

Ответ: $a>b$.

г) $a=\sin1$, $b=\cos1$ (радианы)

Шаг 1. Локализация единицы.
Из $3<\pi<4\Rightarrow \dfrac{\pi}{4}\in(0{,}75,1)$ и $\dfrac{\pi}{2}\in(1{,}5,2)$ следует:

$$\frac{\pi}{4}<1<\frac{\pi}{2}.$$

Значит $1$ — в I квадранте, правее $\pi/4$.

Шаг 2. Свойства на $(0,\frac{\pi}{2})$.

• $\sin x$ возрастает: $\sin’ x=\cos x>0$.
• $\cos x$ убывает: $\cos’ x=-\sin x<0$.
  Причём при $x=\frac{\pi}{4}$ имеем $\sin x=\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$.

Шаг 3. Делайте вывод.
Для $x>\frac{\pi}{4}$ в I квадранте: $\sin x>\cos x$. Поскольку $1>\frac{\pi}{4}$,

$$\sin1>\cos1.$$

(Альтернатива, одним действием):

$$\sin1-\cos1=\sqrt2\,\sin\!\left(1-\frac{\pi}{4}\right)>0,$$

так как $1-\frac{\pi}{4}\in\big(0,\frac{\pi}{4}\big)$ и синус там положителен.

Ответ: $a>b$.

Итог:

а) $\sin\dfrac{7\pi}{10} > \sin\dfrac{5\pi}{6} \Rightarrow a>b$.

б) $\cos2<0<\sin2 \Rightarrow a<b$.

в) $\cos\dfrac{\pi}{8}>\cos\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow a>b$.

г) $\sin1>\cos1 \Rightarrow a>b$.