ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти синус, косинус и тангенс числа $t$, если:

а) $t = -\frac{7\pi}{4}$;

$$\sin t = \sin \left( -\frac{7\pi}{4} \right) = -\sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos t = \cos \left( -\frac{7\pi}{4} \right) = \cos \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\tg t = \tg \left( -\frac{7\pi}{4} \right) = 1;$$

б) $t = -\frac{4\pi}{3}$;

$$\sin t = \sin \left( -\frac{4\pi}{3} \right) = -\sin \frac{4\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos t = \cos \left( -\frac{4\pi}{3} \right) = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2};$$ $$\tg t = \tg \left( -\frac{4\pi}{3} \right) = -\sqrt{3};$$

в) $t = -\frac{5\pi}{6}$;

$$\sin t = \sin \left( -\frac{5\pi}{6} \right) = -\sin \frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{2};$$ $$\cos t = \cos \left( -\frac{5\pi}{6} \right) = \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\tg t = \tg \left( -\frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}};$$

г) $t = -\frac{5\pi}{3}$;

$$\sin t = \sin \left( -\frac{5\pi}{3} \right) = -\sin \frac{5\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos t = \cos \left( -\frac{5\pi}{3} \right) = \cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2};$$ $$\tg t = \tg \left( -\frac{5\pi}{3} \right) = \sqrt{3};$$

Общая идея (что будем делать каждый раз)

Приводим угол к главному значению в $[0,2\pi)$ добавлением/вычитанием целых кратных $2\pi$:
$t’ = t + 2\pi k$, где $k\in\mathbb{Z}$, и тогда $\sin t = \sin t’$, $\cos t = \cos t’$, $\tan t = \tan t’$.

Определяем квадрант угла $t’$ и опорный угол (острый угол к ближайшей оси), чтобы понять знаки и модули значений.

Берём точные значения для стандартных опорных углов $\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}$:

$$\begin{aligned} &\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\quad &&\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\quad &&\tan\frac{\pi}{6}=\frac1{\sqrt3},\\ &\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad &&\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad &&\tan\frac{\pi}{4}=1,\\ &\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\quad &&\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\quad &&\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3. \end{aligned}$$

а) $t=-\frac{7\pi}{4}$

Шаг 1. Нормализация.
Добавим $2\pi$: $-\frac{7\pi}{4}+2\pi=-\frac{7\pi}{4}+\frac{8\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$.
Значит, $t’\!=\!\frac{\pi}{4}\in(0,\frac{\pi}{2})$ и

$$\sin t=\sin\frac{\pi}{4},\quad \cos t=\cos\frac{\pi}{4},\quad \tan t=\tan\frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2. Квадрант и опорный угол.
$\frac{\pi}{4}$ — I квадрант, опорный угол $\frac{\pi}{4}$.
В I квадранте $\sin>0,\ \cos>0,\ \tan>0$.

Шаг 3. Точные значения.

$$\sin t=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos t=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \tan t=1.$$

Шаг 4. Проверка.
$\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12+\frac12=1$.
$\dfrac{\sin t}{\cos t}=\dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1=\tan t$.

б) $t=-\frac{4\pi}{3}$

Шаг 1. Нормализация.
$-\frac{4\pi}{3}+2\pi=-\frac{4\pi}{3}+\frac{6\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$.
Значит, $t’=\frac{2\pi}{3}$.

Шаг 2. Квадрант и опорный угол.
$\frac{2\pi}{3}$ — II квадрант. Опорный угол: $\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$.
В II квадранте: $\sin>0,\ \cos<0,\ \tan<0$.

Шаг 3. Точные значения через опорный угол $\frac{\pi}{3}$.
Модули такие же, как у $\frac{\pi}{3}$, только со знаками II квадранта:

$$\sin t=\sin\frac{2\pi}{3}=+\sin\frac{\pi}{3}=+\frac{\sqrt3}{2},$$ $$\cos t=\cos\frac{2\pi}{3}=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12,$$ $$\tan t=\tan\frac{2\pi}{3}=\frac{\sin\frac{2\pi}{3}}{\cos\frac{2\pi}{3}} =\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{-\frac12}=-\sqrt3.$$

(Это совпадает и с чётно-нечётными свойствами: $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$, $\tan(-x)=-\tan x$. Поскольку $\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}$, получаем $\sin t=-(-\frac{\sqrt3}{2})=\frac{\sqrt3}{2}$ и т. д.)

Шаг 4. Проверка.
$\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(-\frac12\right)^2=\frac34+\frac14=1$.
$\dfrac{\sin t}{\cos t}=\dfrac{\sqrt3/2}{-1/2}=-\sqrt3=\tan t$.

в) $t=-\frac{5\pi}{6}$

Шаг 1. Нормализация.
$-\frac{5\pi}{6}+2\pi=-\frac{5\pi}{6}+\frac{12\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$.
Значит, $t’=\frac{7\pi}{6}$.

Шаг 2. Квадрант и опорный угол.
$\frac{7\pi}{6}$ — III квадрант. Опорный угол: $\frac{7\pi}{6}-\pi=\frac{\pi}{6}$.
В III квадранте: $\sin<0,\ \cos<0,\ \tan>0$.

Шаг 3. Точные значения через $\frac{\pi}{6}$.

$$\sin t=\sin\frac{7\pi}{6}=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac12,$$ $$\cos t=\cos\frac{7\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},$$ $$\tan t=\tan\frac{7\pi}{6}=+\tan\frac{\pi}{6}=+\frac1{\sqrt3}.$$

(То же выйдет через нечётность/чётность: $\sin(-\frac{5\pi}{6})=-\sin\frac{5\pi}{6}=-\frac12$, $\cos(-\frac{5\pi}{6})=\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\tan(-\frac{5\pi}{6})=-\tan\frac{5\pi}{6}=-\left(\frac1{-\sqrt3}\right)=\frac1{\sqrt3}$.)

Шаг 4. Проверка.
$\left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1$.
$\dfrac{\sin t}{\cos t}=\dfrac{-1/2}{-\sqrt3/2}=\frac1{\sqrt3}=\tan t$.

г) $t=-\frac{5\pi}{3}$

Шаг 1. Нормализация.
$-\frac{5\pi}{3}+2\pi=-\frac{5\pi}{3}+\frac{6\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$.
Значит, $t’=\frac{\pi}{3}$.

Шаг 2. Квадрант и опорный угол.
$\frac{\pi}{3}$ — I квадрант, опорный угол $\frac{\pi}{3}$.
В I квадранте все три функции положительны.

Шаг 3. Точные значения.

$$\sin t=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos t=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\qquad \tan t=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3.$$

(Совпадает и с подходом через нечётность/чётность: $\sin(-\frac{5\pi}{3})=-\sin\frac{5\pi}{3}=-\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos(-\frac{5\pi}{3})=\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12$, $\tan(-\frac{5\pi}{3})=-\tan\frac{5\pi}{3}=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.)

Шаг 4. Проверка.
$\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac12\right)^2=\frac34+\frac14=1$.
$\dfrac{\sin t}{\cos t}=\dfrac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3=\tan t$. $\displaystyle \sin t=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos t=\frac12,\quad \tan t=\sqrt3.$