ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположить в порядке возрастания числа:

а) $\sin \frac{\pi}{7}$; $\sin \frac{\pi}{5}$; $\sin \frac{2\pi}{3}$; $\sin \frac{7\pi}{6}$; $\sin \frac{4\pi}{3}$;

Числа $\frac{\pi}{7}$, $\frac{\pi}{5}$, $\frac{2\pi}{3}$ лежат в I и II четвертях:
$0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5} < \frac{2\pi}{3} < \pi;$
$\sin t > 0;$

Числа $\frac{7\pi}{6}$, $\frac{4\pi}{3}$ лежат в III четверти:
$\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2};$
$\sin t < 0;$

Расстояние до точек максимума:
$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{7} \right| = \frac{5\pi}{14} \approx 1,07;$
$y_2 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{5} \right| = \frac{3\pi}{10} \approx 0,9;$
$y_3 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{2\pi}{3} \right| = \frac{\pi}{6} \approx 0,5;$
$y_4 = \left| \pi — \frac{7\pi}{6} \right| = \frac{\pi}{6} \approx 0,5;$
$y_5 = \left| \pi — \frac{4\pi}{3} \right| = \frac{\pi}{3} \approx 1;$

Ответ: $\sin \frac{4\pi}{3}$; $\sin \frac{7\pi}{6}$; $\sin \frac{\pi}{7}$; $\sin \frac{\pi}{5}$; $\sin \frac{2\pi}{3}$.

б) $\cos \frac{\pi}{3}$; $\cos \frac{\pi}{3}$; $\cos \frac{5\pi}{6}$; $\cos \frac{5\pi}{4}$; $\cos \frac{7\pi}{4}$;

Числа $\frac{\pi}{8}$, $\frac{\pi}{3}$ лежат в I четверти:
$0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2};$
$\cos t > 0;$

Число $\frac{5\pi}{6}$ лежит во II четверти:
$\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi;$
$\cos t < 0;$

Число $\frac{5\pi}{4}$ лежит в III четверти:
$\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2};$
$\cos t < 0;$

Число $\frac{7\pi}{4}$ лежит в IV четверти:
$\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi;$
$\cos t > 0;$

Расстояние до точек максимума:
$y_1 = \left| 0 — \frac{\pi}{8} \right| = \frac{\pi}{8} \approx 0,34;$
$y_2 = \left| 0 — \frac{\pi}{3} \right| = \frac{\pi}{3} \approx 1;$
$y_3 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{6} \right| = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \approx 1;$
$y_4 = \left| \frac{3\pi}{2} — \frac{5\pi}{4} \right| = \frac{\pi}{4} \approx 0,75;$
$y_5 = \left| 2\pi — \frac{7\pi}{4} \right| = \frac{\pi}{4} \approx 0,75;$

Ответ: $\cos \frac{5\pi}{6}$; $\cos \frac{5\pi}{4}$; $\cos \frac{\pi}{3}$; $\cos \frac{7\pi}{4}$; $\cos \frac{\pi}{8}$.

Часть а): $\sin \frac{\pi}{7}$; $\sin \frac{\pi}{5}$; $\sin \frac{2\pi}{3}$; $\sin \frac{7\pi}{6}$; $\sin \frac{4\pi}{3}$

Шаг 1. Определение, в каких четвертях находятся углы

Углы $\frac{\pi}{7}$, $\frac{\pi}{5}$, $\frac{2\pi}{3}$ находятся в первой и второй четверти. Эти углы меньше $\pi$, так как:

$$0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5} < \frac{2\pi}{3} < \pi.$$

В первой и второй четвертях синус положителен, то есть:

$$\sin t > 0 \quad \text{для} \quad 0 < t < \pi.$$

Углы $\frac{7\pi}{6}$ и $\frac{4\pi}{3}$ лежат в третьей четверти, где синус отрицателен, так как:

$$\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}.$$

В третьей четверти синус отрицателен:

$$\sin t < 0 \quad \text{для} \quad \pi < t < \frac{3\pi}{2}.$$

Шаг 2. Определение расстояний до точек максимума

Рассмотрим расстояние каждого угла от точек, где синус достигает максимума (для синуса это $\frac{\pi}{2}$ для углов из первой и второй четверти, и $\frac{3\pi}{2}$ для углов из третьей четверти).

1. Для $\sin \frac{\pi}{7}$:
   Угол $\frac{\pi}{7}$ лежит в первой четверти. Его расстояние до точки максимума $\frac{\pi}{2}$ равно:

   $$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{7} \right| = \frac{5\pi}{14} \approx 1,07.$$

2. Для $\sin \frac{\pi}{5}$:
   Угол $\frac{\pi}{5}$ также лежит в первой четверти. Его расстояние до точки максимума $\frac{\pi}{2}$ равно:

   $$y_2 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{5} \right| = \frac{3\pi}{10} \approx 0,9.$$

3. Для $\sin \frac{2\pi}{3}$:
   Угол $\frac{2\pi}{3}$ лежит во второй четверти. Его расстояние до точки максимума $\frac{\pi}{2}$ равно:

   $$y_3 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{2\pi}{3} \right| = \frac{\pi}{6} \approx 0,5.$$

4. Для $\sin \frac{7\pi}{6}$:
   Угол $\frac{7\pi}{6}$ лежит в третьей четверти. Его расстояние до точки максимума $\frac{3\pi}{2}$ равно:

   $$y_4 = \left| \pi — \frac{7\pi}{6} \right| = \frac{\pi}{6} \approx 0,5.$$

5. Для $\sin \frac{4\pi}{3}$:
   Угол $\frac{4\pi}{3}$ лежит в третьей четверти. Его расстояние до точки максимума $\frac{3\pi}{2}$ равно:

   $$y_5 = \left| \pi — \frac{4\pi}{3} \right| = \frac{\pi}{3} \approx 1.$$

Шаг 3. Сортировка синусов

Теперь, зная расстояния до точек максимума, можно упорядочить синусы:

1. Угол с наименьшим расстоянием до точки максимума — $\sin \frac{2\pi}{3}$, так как $y_3 = 0,5$.
2. Следующий по величине — $\sin \frac{7\pi}{6}$, так как $y_4 = 0,5$.
3. Далее идет $\sin \frac{\pi}{7}$, так как $y_1 = 1,07$.
4. Следующий — $\sin \frac{\pi}{5}$, так как $y_2 = 0,9$.
5. Самый большой синус — $\sin \frac{4\pi}{3}$, так как $y_5 = 1$.

Ответ:

$$\sin \frac{4\pi}{3}, \ \sin \frac{7\pi}{6}, \ \sin \frac{\pi}{7}, \ \sin \frac{\pi}{5}, \ \sin \frac{2\pi}{3}.$$

Часть б): $\cos \frac{\pi}{3}$; $\cos \frac{\pi}{3}$; $\cos \frac{5\pi}{6}$; $\cos \frac{5\pi}{4}$; $\cos \frac{7\pi}{4}$

Шаг 1. Определение, в каких четвертях находятся углы

Угол $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{3}$ лежат в первой четверти. В этой четверти косинус положителен:

$$0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}, \quad \cos t > 0.$$

Угол $\frac{5\pi}{6}$ лежит во второй четверти. В этой четверти косинус отрицателен:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi, \quad \cos t < 0.$$

Угол $\frac{5\pi}{4}$ лежит в третьей четверти. В этой четверти косинус отрицателен:

$$\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}, \quad \cos t < 0.$$

Угол $\frac{7\pi}{4}$ лежит в четвертой четверти. В этой четверти косинус положителен:

$$\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi, \quad \cos t > 0.$$

Шаг 2. Определение расстояний до точек максимума

1. Для $\cos \frac{\pi}{8}$:
   Угол $\frac{\pi}{8}$ лежит в первой четверти. Его расстояние до точки максимума $0$ (где $\cos t = 1$) равно:

   $$y_1 = \left| 0 — \frac{\pi}{8} \right| = \frac{\pi}{8} \approx 0,34.$$

2. Для $\cos \frac{\pi}{3}$:
   Угол $\frac{\pi}{3}$ лежит в первой четверти. Его расстояние до точки максимума $0$ равно:

   $$y_2 = \left| 0 — \frac{\pi}{3} \right| = \frac{\pi}{3} \approx 1.$$

3. Для $\cos \frac{5\pi}{6}$:
   Угол $\frac{5\pi}{6}$ лежит во второй четверти. Его расстояние до точки максимума $\frac{\pi}{2}$ равно:

   $$y_3 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{6} \right| = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \approx 1.$$

4. Для $\cos \frac{5\pi}{4}$:
   Угол $\frac{5\pi}{4}$ лежит в третьей четверти. Его расстояние до точки максимума $\pi$ равно:

   $$y_4 = \left| \frac{3\pi}{2} — \frac{5\pi}{4} \right| = \frac{\pi}{4} \approx 0,75.$$

5. Для $\cos \frac{7\pi}{4}$:
   Угол $\frac{7\pi}{4}$ лежит в четвертой четверти. Его расстояние до точки максимума $2\pi$ равно:

   $$y_5 = \left| 2\pi — \frac{7\pi}{4} \right| = \frac{\pi}{4} \approx 0,75.$$

Шаг 3. Сортировка косинусов

1. Наименьшее расстояние у $\cos \frac{\pi}{8}$, так как $y_1 = 0,34$.
2. Далее идет $\cos \frac{\pi}{3}$, так как $y_2 = 1$.
3. Следующий — $\cos \frac{5\pi}{6}$, так как $y_3 = 1$.
4. Далее $\cos \frac{5\pi}{4}$ и $\cos \frac{7\pi}{4}$, так как $y_4 = y_5 = 0,75$.

Ответ:

$$\cos \frac{5\pi}{6}, \ \cos \frac{5\pi}{4}, \ \cos \frac{\pi}{3}, \ \cos \frac{7\pi}{4}, \ \cos \frac{\pi}{8}.$$

Итоговый ответ:

1. $\sin \frac{4\pi}{3}, \ \sin \frac{7\pi}{6}, \ \sin \frac{\pi}{7}, \ \sin \frac{\pi}{5}, \ \sin \frac{2\pi}{3}$.
2. $\cos \frac{5\pi}{6}, \ \cos \frac{5\pi}{4}, \ \cos \frac{\pi}{3}, \ \cos \frac{7\pi}{4}, \ \cos \frac{\pi}{8}$.