ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.42 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположите в порядке возрастания числа:

а) 1; sin 1; cos 1; tg 1;

б) 2; sin 2; cos 2; ctg 2

Расположить в порядке возрастания числа:

а) 1; sin 1; cos 1; tg 1;

Число 1 лежит в I четверти:
$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$

$\sin 1 > 0, \quad \cos 1 > 0;$

Расстояние до точек максимума:
$x_{\max} = |0 — 1| = 1;$
$y_{\max} = \left| \frac{\pi}{2} — 1 \right| \approx 0,5;$

Сравним данные числа:
$0 < \cos 1 < \sin 1 < 1;$
$\operatorname{tg} 1 = \frac{\sin 1}{\cos 1} > 1;$

Ответ: $\cos 1; \sin 1; 1; \operatorname{tg} 1.$

б) 2; sin 2; cos 2; ctg 2;

Число 2 лежит во II четверти:
$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$

$\sin 2 > 0, \quad \cos 2 < 0;$

Сравним данные числа:
$\cos 2 < 0 < \sin 2 < 1;$
$\operatorname{ctg} 2 = \frac{\cos 2}{\sin 2} < \cos 2;$

Ответ: $\operatorname{ctg} 2; \cos 2; \sin 2; 2.$

а) $1; \sin 1; \cos 1; \tg 1$

Шаг 1: Определение расположения числа 1 на тригонометрической окружности

Число 1 (в радианах) лежит в I четверти тригонометрической окружности, так как:

$0 < 1 < \frac{\pi}{2}.$

Это значит, что угол 1 радиан находится между $0$ и $\frac{\pi}{2}$ — т.е. в первой четверти.

Шаг 2: Рассмотрим значения тригонометрических функций

В первой четверти значения тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса) положительные:

• $\sin 1 > 0$,
• $\cos 1 > 0$,
• $\tg 1 > 0$, так как $\tg \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, и для всех углов в I четверти $\sin \theta > 0$, а $\cos \theta > 0$, следовательно, $\tg \theta > 0$.

Таким образом, числа $\sin 1$, $\cos 1$, $1$ и $\tg 1$ все положительные.

Шаг 3: Сравнение значений $\sin 1$, $\cos 1$, 1 и $\tg 1$

Теперь, чтобы расположить числа в порядке возрастания, рассмотрим числовые значения:

1. Значение $\cos 1$ будет меньше 1, так как $\cos 1 \approx 0.5403$.
2. Значение $\sin 1$ также меньше 1, так как $\sin 1 \approx 0.8414$.
3. Число $1$ больше, чем $\cos 1$ и $\sin 1$, но меньше 2.
4. Тангенс угла 1, то есть $\tg 1 = \frac{\sin 1}{\cos 1}$, получается больше 1, так как $\tg 1 \approx 1.557$.

Таким образом, порядок возрастания чисел будет следующим:

$$\cos 1 < \sin 1 < 1 < \tg 1.$$

Ответ: $\cos 1; \sin 1; 1; \tg 1$.

б) $2; \sin 2; \cos 2; \ctg 2$

Шаг 1: Определение расположения числа 2 на тригонометрической окружности

Число 2 (в радианах) лежит во II четверти тригонометрической окружности, так как:

$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi.$

Это значит, что угол 2 радиан находится между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$ — т.е. во второй четверти.

Шаг 2: Рассмотрим значения тригонометрических функций

Во второй четверти:

• $\sin 2 > 0$, так как синус всегда положителен во второй и первой четвертях,
• $\cos 2 < 0$, так как косинус всегда отрицателен во второй и третьей четвертях,
• $\ctg 2 = \frac{\cos 2}{\sin 2} < 0$, так как $\cos 2 < 0$ и $\sin 2 > 0$ (для углов во второй четверти $\ctg \theta < 0$).

Таким образом, мы можем утверждать, что:

• $\sin 2 > 0$,
• $\cos 2 < 0$,
• $\ctg 2 < 0$.

Шаг 3: Сравнение значений $\sin 2$, $\cos 2$, 2 и $\ctg 2$

Теперь рассмотрим числовые значения:

1. $\cos 2 \approx -0.416$ (отрицательное значение),
2. $\sin 2 \approx 0.9093$ (положительное значение),
3. $\ctg 2 = \frac{\cos 2}{\sin 2} \approx -0.4576$ (отрицательное значение),
4. $2$ — это просто число, которое больше, чем $\sin 2$, $\cos 2$ и $\ctg 2$.

Теперь, сравнив все эти значения, мы получаем порядок возрастания:

$$\ctg 2 < \cos 2 < \sin 2 < 2.$$

Ответ: $\ctg 2; \cos 2; \sin 2; 2.$