ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.45 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

а) $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{7\pi}{4} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{4} \right);$
$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{4} \right);$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

б) $\cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{7\pi}{6} \right) = M_1 \left( -\frac{5\pi}{6} \right);$
$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{6} \right);$

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

в) $\sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{4} \right);$
$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$

Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.

г) $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{6} \right);$
$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{6} \right);$

Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

а) Решение неравенства $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для начала рассмотрим график функции $\sin t$. Он периодичен, с периодом $2\pi$, и принимает значения от $-1$ до $1$. Для решения неравенства $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$, необходимо найти, при каких значениях $t$ синус будет больше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 1. Определение ключевых точек

Мы должны найти такие углы $t$, при которых $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это происходит в двух точках на одном периоде (от $0$ до $2\pi$):

• В точке $t = \frac{7\pi}{4}$ (или $-\frac{\pi}{4}$), где синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• В точке $t = \frac{5\pi}{4}$, где синус тоже равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это мы видим, исследуя график синуса.

Шаг 2. Условия на интервалах

Так как $\sin t$ периодична с периодом $2\pi$, то условие $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ будет выполняться на промежутке между этими точками на каждом периоде. Таким образом, на интервале от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$ синус больше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 3. Ответ

Так как функция $\sin t$ повторяется через $2\pi$, то решение для всех значений $t$ будет:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) Решение неравенства $\cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для $\cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ мы аналогично используем график функции косинуса, которая тоже периодична с периодом $2\pi$.

Шаг 1. Определение ключевых точек

Нам нужно найти, при каких значениях $t$ косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что косинус принимает значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в точках:

• $t = \frac{5\pi}{6}$ и $t = \frac{7\pi}{6}$.

Эти значения находятся на интервале $[0, 2\pi]$ и можно найти их с помощью стандартных значений тригонометрических функций.

Шаг 2. Условия на интервалах

Так как $\cos t$ меняет знак и косинус будет больше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ между этими точками (на интервале от $-\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$ на каждом периоде), решение будет на каждом таком интервале.

Шаг 3. Ответ

Периодичность функции косинуса даёт решение вида:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

в) Решение неравенства $\sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь рассмотрим неравенство $\sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 1. Определение ключевых точек

Аналогично предыдущим случаям, мы ищем точки, где $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки находятся в:

• $t = \frac{5\pi}{4}$ и $t = \frac{7\pi}{4}$.

Это точки, на которых синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2. Условия на интервалах

Синус будет меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале между этими точками, т.е. на интервале $\left( \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right)$.

Шаг 3. Ответ

Периодичность функции синуса даёт решение вида:

$$\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

г) Решение неравенства $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Наконец, рассмотрим неравенство $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 1. Определение ключевых точек

Косинус будет равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в точках:

• $t = \frac{5\pi}{6}$ и $t = \frac{7\pi}{6}$.

Шаг 2. Условия на интервалах

Косинус будет меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ между этими точками, т.е. на интервале $\left( \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} \right)$.

Шаг 3. Ответ

Периодичность функции косинуса даёт решение вида:

$$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Итоговые ответы:

• $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ решается на интервале $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.
• $\cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ решается на интервале $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
• $\sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ решается на интервале $\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.
• $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ решается на интервале $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответы представляют собой периодические интервалы, где $n$ — целое число.