ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.46 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 — 2 \sin 1 \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} — \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 — 2 \sin 2} =$$ $$= \sqrt{(\sin 1 — \sin 2)^2} + \sqrt{\left( \frac{1}{2} — \sin 1 \right)^2} + \sqrt{(1 — \sin 2)^2} =$$ $$= |\sin 1 — \sin 2| + \left| \frac{1}{2} — \sin 1 \right| + |1 — \sin 2| =$$ $$= \sin 2 — \sin 1 + \sin 1 — \frac{1}{2} + 1 — \sin 2 = -0,5 + 1 = 0,5;$$

Число 1 лежит в I четверти:

$$0 < \frac{\pi}{6} < 1 < \frac{\pi}{2};$$ $$0 < \sin \frac{\pi}{6} < \sin 1;$$ $$\sin 1 > \frac{1}{2};$$

Число 2 лежит во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$ $$\sin 2 > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 1 \right| \approx 0,55;$$ $$y_2 = \left| \frac{\pi}{2} — 2 \right| \approx 0,45;$$ $$\sin 1 < \sin 2;$$

Ответ: $0,5$.

б)

$$\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 — 2 \cos 6 \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} — \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 — 2 \cos 6} =$$ $$= \sqrt{(\cos 6 — \cos 7)^2} + \sqrt{\left( \frac{1}{2} — \cos 7 \right)^2} + \sqrt{(1 — \cos 6)^2} =$$ $$= |\cos 6 — \cos 7| + \left| \frac{1}{2} — \cos 7 \right| + |1 — \cos 6| =$$ $$= \cos 6 — \cos 7 + \cos 7 — \frac{1}{2} + 1 — \cos 6 = -0,5 + 1 = 0,5;$$

Число 7 лежит в I четверти:

$$2\pi < 7 < \frac{7\pi}{3} < \frac{5\pi}{2};$$ $$\cos 7 > \cos \frac{7\pi}{3} > 0;$$ $$\cos 7 > \frac{1}{2};$$

Число 6 лежит в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi;$$ $$\cos 6 > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$x_1 = |2\pi — 7| \approx 1;$$ $$x_2 = |2\pi — 6| \approx 0;$$ $$\cos 7 < \cos 6;$$

Ответ: $0,5$.

а) Выражение

$$\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 — 2 \sin 1 \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} — \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 — 2 \sin 2}$$

Первое слагаемое:

$$\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 — 2 \sin 1 \sin 2}$$

Используем формулу для разности квадратов:

$$a^2 + b^2 — 2ab = (a — b)^2$$

Заменяем:

$$= \sqrt{(\sin 1 — \sin 2)^2}$$

Поскольку квадрат числа всегда неотрицателен, извлекаем квадратный корень:

$$= |\sin 1 — \sin 2|$$

Второе слагаемое:

$$\sqrt{\frac{1}{4} — \sin 1 + \sin^2 1}$$

Запишем это выражение в виде квадрата разности:

$$\frac{1}{4} — \sin 1 + \sin^2 1 = \left( \frac{1}{2} — \sin 1 \right)^2$$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{1}{4} — \sin 1 + \sin^2 1} = \sqrt{\left( \frac{1}{2} — \sin 1 \right)^2}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$= \left| \frac{1}{2} — \sin 1 \right|$$

Третье слагаемое:

$$\sqrt{1 + \sin^2 2 — 2 \sin 2}$$

Используем аналогичный подход:

$$1 + \sin^2 2 — 2 \sin 2 = (1 — \sin 2)^2$$

Тогда:

$$\sqrt{1 + \sin^2 2 — 2 \sin 2} = \sqrt{(1 — \sin 2)^2}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$= |1 — \sin 2|$$

Объединение всех слагаемых:

Теперь все слагаемые можно объединить:

$$|\sin 1 — \sin 2| + \left| \frac{1}{2} — \sin 1 \right| + |1 — \sin 2|$$

Чтобы упростить это выражение, давайте рассмотрим значение синусов. Вспомним, что $\sin 1$ и $\sin 2$ — это значения синусов для углов в радианах, а также, что синус возрастает в первом квадранте, и уменьшается во втором.

Число 1 лежит в I четверти:

$$0 < \frac{\pi}{6} < 1 < \frac{\pi}{2}$$ $$0 < \sin \frac{\pi}{6} < \sin 1$$ $$\sin 1 > \frac{1}{2}$$

Число 2 лежит во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$$ $$\sin 2 > 0$$

Дальше вычисляем каждое слагаемое:

1. $|\sin 1 — \sin 2| = \sin 2 — \sin 1$, так как $\sin 2 > \sin 1$.
2. $\left| \frac{1}{2} — \sin 1 \right| = \frac{1}{2} — \sin 1$, так как $\sin 1 > \frac{1}{2}$.
3. $|1 — \sin 2| = 1 — \sin 2$, так как $\sin 2 < 1$.

Теперь подставим значения:

$$\sin 2 — \sin 1 + \sin 1 — \frac{1}{2} + 1 — \sin 2 = -0.5 + 1 = 0.5$$

Ответ для части а): $0.5$

б) Выражение

$$\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 — 2 \cos 6 \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} — \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 — 2 \cos 6}$$

Первое слагаемое:

$$\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 — 2 \cos 6 \cos 7}$$

Аналогично предыдущей задаче, используем формулу разности квадратов:

$$= \sqrt{(\cos 6 — \cos 7)^2}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$= |\cos 6 — \cos 7|$$

Второе слагаемое:

$$\sqrt{\frac{1}{4} — \cos 7 + \cos^2 7}$$

Запишем это выражение в виде квадрата разности:

$$\frac{1}{4} — \cos 7 + \cos^2 7 = \left( \frac{1}{2} — \cos 7 \right)^2$$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{1}{4} — \cos 7 + \cos^2 7} = \sqrt{\left( \frac{1}{2} — \cos 7 \right)^2}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$= \left| \frac{1}{2} — \cos 7 \right|$$

Третье слагаемое:

$$\sqrt{1 + \cos^2 6 — 2 \cos 6}$$

Используем аналогичный подход:

$$1 + \cos^2 6 — 2 \cos 6 = (1 — \cos 6)^2$$

Тогда:

$$\sqrt{1 + \cos^2 6 — 2 \cos 6} = \sqrt{(1 — \cos 6)^2}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$= |1 — \cos 6|$$

Объединение всех слагаемых:

Теперь все слагаемые можно объединить:

$$|\cos 6 — \cos 7| + \left| \frac{1}{2} — \cos 7 \right| + |1 — \cos 6|$$

Число 7 лежит в I четверти:

$$2\pi < 7 < \frac{7\pi}{3} < \frac{5\pi}{2}$$ $$\cos 7 > \cos \frac{7\pi}{3} > 0$$ $$\cos 7 > \frac{1}{2}$$

Число 6 лежит в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$$ $$\cos 6 > 0$$

Дальше вычисляем каждое слагаемое:

1. $|\cos 6 — \cos 7| = \cos 6 — \cos 7$, так как $\cos 6 > \cos 7$.
2. $\left| \frac{1}{2} — \cos 7 \right| = \frac{1}{2} — \cos 7$, так как $\cos 7 < \frac{1}{2}$.
3. $|1 — \cos 6| = 1 — \cos 6$, так как $\cos 6 < 1$.

Теперь подставим значения:

$$\cos 6 — \cos 7 + \cos 7 — \frac{1}{2} + 1 — \cos 6 = -0.5 + 1 = 0.5$$

Ответ для части б): $0.5$

Итоговый ответ:

а) 0,5

б) 0,5