ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.47 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\sqrt{\sin^2 5 — 2 \sin 5 \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} — \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} — 2 \sin \frac{5\pi}{6} \sin 5 + \sin^2 5} =$$ $$= \sqrt{\left( \sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6} \right)^2} — \sqrt{\left( \sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5 \right)^2} =$$ $$= \left| \sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6} \right| — \left| \sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5 \right| = \left| \sin 5 + \frac{1}{2} \right| — \left| \frac{1}{2} — \sin 5 \right| =$$ $$= -\left( \sin 5 + \frac{1}{2} \right) — \left( \frac{1}{2} — \sin 5 \right) = -\frac{1}{2} — \frac{1}{2} = -1;$$

Число $5$ лежит в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < \frac{11\pi}{6} < 2\pi;$$ $$\sin 5 < \sin \frac{11\pi}{6} < 0;$$ $$\sin 5 < -\frac{1}{2};$$

Ответ: $-1$.

б)

$$\sqrt{\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}} =$$ $$= \sqrt{\left( \cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3} \right)^2} + \sqrt{\left( \cos 4 — \cos \frac{\pi}{3} \right)^2} =$$ $$= \left| \cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3} \right| + \left| \cos 4 — \cos \frac{\pi}{3} \right| = \left| \cos 4 + \frac{1}{2} \right| + \left| \cos 4 — \frac{1}{2} \right| =$$ $$= -\left( \cos 4 + \frac{1}{2} \right) — \left( \cos 4 — \frac{1}{2} \right) = -2 \cos 4;$$

Число $4$ лежит в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2};$$ $$\cos 4 < \cos \frac{4\pi}{3} < 0;$$ $$\cos 4 < -\frac{1}{2};$$

Ответ: $-2 \cos 4$.

Часть а):

$$\sqrt{\sin^2 5 — 2 \sin 5 \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} — \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} — 2 \sin \frac{5\pi}{6} \sin 5 + \sin^2 5}$$

Шаг 1: Упрощаем первое выражение под корнем.

Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{\sin^2 5 — 2 \sin 5 \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}}$, воспользуемся формулой разности квадратов:

$$a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2$$

где $a = \sin 5$, $b = \sin \frac{11\pi}{6}$. Тогда:

$$\sin^2 5 — 2 \sin 5 \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6} = \left( \sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6} \right)^2$$

Следовательно, первое выражение под корнем будет равно:

$$\sqrt{\left( \sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6} \right)^2}$$

Так как квадратный корень из квадрата числа равен абсолютной величине этого числа, то:

$$\sqrt{\left( \sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6} \right)^2} = \left| \sin 5 — \sin \frac{11\pi}{6} \right|$$

Шаг 2: Упрощаем второе выражение под корнем.

Аналогично первому выражению, для второго выражения:

$$\sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} — 2 \sin \frac{5\pi}{6} \sin 5 + \sin^2 5}$$

можно применить ту же формулу разности квадратов. Здесь $a = \sin \frac{5\pi}{6}$, $b = \sin 5$, и получаем:

$$\sin^2 \frac{5\pi}{6} — 2 \sin \frac{5\pi}{6} \sin 5 + \sin^2 5 = \left( \sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5 \right)^2$$

Тогда второе выражение под корнем будет равно:

$$\sqrt{\left( \sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5 \right)^2}$$

Снова, квадратный корень из квадрата числа равен абсолютной величине этого числа:

$$\sqrt{\left( \sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5 \right)^2} = \left| \sin \frac{5\pi}{6} — \sin 5 \right|$$

Шаг 3: Подставляем значения синусов.

Теперь подставим значения синусов углов. Из таблицы значений тригонометрических функций:

$$\sin \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\left| \sin 5 + \frac{1}{2} \right| — \left| \frac{1}{2} — \sin 5 \right|$$

Шаг 4: Анализируем знак $\sin 5$.

Число $5$ лежит в IV четверти на круге. Значение угла $5$ выражается как:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < \frac{11\pi}{6} < 2\pi$$

В IV четверти $\sin$ отрицателен, следовательно:

$$\sin 5 < 0$$

Шаг 5: Вставляем значение для $\sin 5$.

Так как $\sin 5 < 0$, то подставляем $\sin 5$ в исходное выражение:

$$\left| \sin 5 + \frac{1}{2} \right| — \left| \frac{1}{2} — \sin 5 \right|$$

Пусть $\sin 5 = -x$, где $x > 0$. Тогда:

$$\left| -x + \frac{1}{2} \right| — \left| \frac{1}{2} — (-x) \right| = \left| -x + \frac{1}{2} \right| — \left| \frac{1}{2} + x \right|$$

Поскольку $x > \frac{1}{2}$, то:

$$\left| -x + \frac{1}{2} \right| = -(x — \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} — x$$

и

$$\left| \frac{1}{2} + x \right| = \frac{1}{2} + x$$

Итак, получаем:

$$\frac{1}{2} — x — \left( \frac{1}{2} + x \right) = -2x$$

Ответ: $-1$.

Часть б):

$$\sqrt{\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}}$$

Шаг 1: Упрощаем первое выражение под корнем.

Применяем формулу разности квадратов для первого выражения:

$$\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3} = \left( \cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3} \right)^2$$

Тогда первое выражение под корнем становится:

$$\sqrt{\left( \cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3} \right)^2} = \left| \cos 4 — \cos \frac{2\pi}{3} \right|$$

Шаг 2: Упрощаем второе выражение под корнем.

Аналогично первому выражению, для второго выражения:

$$\cos^2 4 — 2 \cos 4 \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3} = \left( \cos 4 — \cos \frac{\pi}{3} \right)^2$$

Тогда второе выражение под корнем становится:

$$\sqrt{\left( \cos 4 — \cos \frac{\pi}{3} \right)^2} = \left| \cos 4 — \cos \frac{\pi}{3} \right|$$

Шаг 3: Подставляем значения косинусов.

Из таблицы значений тригонометрических функций:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Тогда выражение будет выглядеть как:

$$\left| \cos 4 + \frac{1}{2} \right| + \left| \cos 4 — \frac{1}{2} \right|$$

Шаг 4: Анализируем знак $\cos 4$.

Число $4$ лежит в III четверти на круге. Значение угла $4$ выражается как:

$$\pi < 4 < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$$

В III четверти $\cos$ отрицателен, следовательно:

$$\cos 4 < 0$$

Шаг 5: Вставляем значение для $\cos 4$.

Так как $\cos 4 < 0$, то подставляем $\cos 4 = -y$, где $y > 0$. Тогда:

$$\left| -y + \frac{1}{2} \right| + \left| -y — \frac{1}{2} \right|$$

Пусть $y > \frac{1}{2}$, тогда:

$$\left| -y + \frac{1}{2} \right| = -y + \frac{1}{2}, \quad \left| -y — \frac{1}{2} \right| = -y — \frac{1}{2}$$

Итак, получаем:

$$(-y + \frac{1}{2}) + (-y — \frac{1}{2}) = -2y$$

Ответ: $-2 \cos 4$.