ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6} =$

$= -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2} + 1}{2};$

Ответ: $\frac{\sqrt{3} — \sqrt{2} + 1}{2}$.

б) $\cos\frac{\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 0;$

Ответ: $0$.

в) $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) — \cos(-\pi) + \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} — \cos\pi — \sin\frac{3\pi}{2} =$

$= -1 — (-1) — (-1) = -1 + 1 + 1 = 2 — 1 = 1;$

Ответ: $1$.

г) $\sin\frac{\pi}{6} \cdot \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{6}}{8};$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{8}$.

а) $\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Шаг 1. Снимем минусы у аргументов, используя чётность/нечётность.

• $\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$ (синус нечётный).
• $\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)$ (косинус чётный).

Отсюда:

$$\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

Шаг 2. Подставим табличные значения.

$$\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\quad \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Получаем:

$$-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 3. Приведём к общему знаменателю $2$.

$$\frac{-\sqrt{2} + 1 + \sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}+1}{2}.$$

Ответ: $\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}+1}{2}$.

б) $\cos\frac{\pi}{6}\cdot\cos\frac{\pi}{4}\cdot\cos\frac{\pi}{3}\cdot\cos\frac{\pi}{2}$

Шаг 1. Подставим табличные значения каждого множителя.

$$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\quad \cos\frac{\pi}{2}=0.$$

Шаг 2. Увидим нулевой множитель.
Произведение чисел, среди которых есть ноль, равно нулю:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 0 = 0.$$

Ответ: $0$.

в) $\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) — \cos(-\pi) + \sin\!\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$

Шаг 1. Снимем минусы у аргументов.

• $\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)$ (синус нечётный).
• $\cos(-\pi) = \cos\pi$ (косинус чётный).
• $\sin\!\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ (синус нечётный).

Подставляем прямо в выражение с исходными знаками между слагаемыми:

$$\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) — \cos(-\pi) + \sin\!\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \bigl(-\sin\frac{\pi}{2}\bigr) — \cos\pi + \bigl(-\sin\frac{3\pi}{2}\bigr).$$

То есть:

$$-\sin\frac{\pi}{2} — \cos\pi — \sin\frac{3\pi}{2}.$$

Шаг 2. Подставим табличные значения.

$$\sin\frac{\pi}{2}=1,\quad \cos\pi=-1,\quad \sin\frac{3\pi}{2}=-1.$$

Получаем:

$$-1 — (-1) — (-1) = -1 + 1 + 1.$$

Шаг 3. Сложим.

$$-1 + 1 + 1 = 1.$$

Ответ: $1$.

г) $\sin\frac{\pi}{6}\cdot\sin\frac{\pi}{4}\cdot\sin\frac{\pi}{3}\cdot\sin\frac{\pi}{2}$

Шаг 1. Подставим табличные значения.

$$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\quad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\frac{\pi}{2}=1.$$

Шаг 2. Перемножим дроби.

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1 = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{2\cdot 2\cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{8}.$$

Ответ: $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{8}$.