ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{ctg} \left( \frac{5\pi}{4} — \pi \right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1 + 1 = 2$;
Ответ: 2.

б) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$;
Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} — \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} — \sqrt{3} = \frac{1 — 3}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$;
Ответ: $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

г) $\operatorname{tg} \frac{9\pi}{4} + \operatorname{ctg} \frac{9\pi}{4} = \operatorname{tg} \left( \frac{9\pi}{4} — 2\pi \right) + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1 + 1 = 2$;
Ответ: 2.

Общие факты:

• $\displaystyle \tg x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad \ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tg x}$ (когда знаменатель не равен нулю).
• Периодичность: $\tg(x+\pi)=\tg x$ и $\ctg(x+\pi)=\ctg x$.
• Знаковость в квадрантах: $\tg x$ и $\ctg x$ положительны в I и III квадрантах, отрицательны во II и IV.
• Таблица “эталонных” значений:

$$\tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3},\quad \tg\frac{\pi}{4}=1,\quad \tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3;\qquad \ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt3,\quad \ctg\frac{\pi}{4}=1,\quad \ctg\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt3}.$$

• Рационализация: $\displaystyle \frac{a}{\sqrt b}=\frac{a\sqrt b}{b}$ (если нужно избавиться от корня в знаменателе).

а) $\displaystyle \tg\frac{\pi}{4}+\ctg\frac{5\pi}{4}$

Шаг 1. Сократим угол у котангенса по периодичности:

$$\ctg\frac{5\pi}{4}=\ctg\!\Big(\frac{5\pi}{4}-\pi\Big)=\ctg\frac{\pi}{4},$$

потому что $\ctg(x+\pi)=\ctg x$.

Шаг 2. Подставим эталонные значения:

$$\tg\frac{\pi}{4}=1,\qquad \ctg\frac{\pi}{4}=1.$$

Шаг 3. Сложим: $1+1=2$.

Ответ: $2$.

б) $\displaystyle \ctg\frac{\pi}{3}\cdot\tg\frac{\pi}{6}$

Шаг 1. Эталонные значения:

$$\ctg\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\tg\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{\sqrt3},\qquad \tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}.$$

Шаг 2. Перемножим:

$$\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\frac{1}{3}.$$

Ответ: $\displaystyle \frac{1}{3}$.

в) $\displaystyle \tg\frac{\pi}{6}-\ctg\frac{\pi}{6}$

Шаг 1. Эталонные значения:

$$\tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3},\qquad \ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt3.$$

Шаг 2. Вычтем:

$$\frac{1}{\sqrt3}-\sqrt3=\frac{1}{\sqrt3}-\frac{3}{\sqrt3}=\frac{1-3}{\sqrt3}=-\frac{2}{\sqrt3}.$$

Шаг 3. Рационализуем (по желанию):

$$-\frac{2}{\sqrt3}=-\frac{2\sqrt3}{3}.$$

Ответ: $\displaystyle -\frac{2\sqrt3}{3}$.

г) $\displaystyle \tg\frac{9\pi}{4}+\ctg\frac{9\pi}{4}$

Шаг 1. Приведём углы к первому кругу. $\frac{9\pi}{4}=2\pi+\frac{\pi}{4}$.
Для тангенса:

$$\tg\frac{9\pi}{4}=\tg\Big(\frac{\pi}{4}+2\pi\Big)=\tg\frac{\pi}{4}=1$$

(у $\tg$ период $\pi$, значит и при сдвиге на $2\pi$ значение то же).

Для котангенса:

$$\ctg\frac{9\pi}{4}=\ctg\Big(\frac{\pi}{4}+2\pi\Big)=\ctg\frac{\pi}{4}=1$$

(у $\ctg$ тоже период $\pi$).

Шаг 2. Сложим: $1+1=2$.

Ответ: $2$.