ГДЗ 10-11 Класс Номер 6.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$;

Ответ: 1,5.

б) $2 \sin \pi + 3 \cos \pi + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) + 0 = -3$;

Ответ: –3.

в) $2 \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} — \frac{1}{2} \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{3}{2} — \frac{3}{2} = 0$;

Ответ: 0.

г) $2 \operatorname{tg} 0 + 8 \cos \frac{3\pi}{2} — 6 \sin^2 \frac{\pi}{3} = 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0 — 6 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = -6 \cdot \frac{3}{4} = -4,5$;

Ответ: –4,5.

Напоминаем точные значения тригонометрических функций на единичной окружности
($\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$):

• $\sin 0=0$, $\cos 0=1$ ⇒ $\tg 0=\dfrac{0}{1}=0$.
• $\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$, $\cos \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒
  $\tg \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$,
  $\ctg \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$.
• $\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ⇒ $\tg \dfrac{\pi}{4}=1$.
• $\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ ⇒ $\tg \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$.
• $\sin \dfrac{\pi}{2}=1$, $\cos \dfrac{\pi}{2}=0$ ⇒ $\ctg \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{0}{1}=0$.
• $\sin \pi=0$, $\cos \pi=-1$.
• $\sin \dfrac{3\pi}{2}=-1$, $\cos \dfrac{3\pi}{2}=0$.

а) $\displaystyle \tg\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \ctg\frac{\pi}{6}$

Подставляем:

$$\tg\frac{\pi}{4}=1,\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}.$$

Перемножаем:

$$1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}.$$

В десятичной форме:

$$\frac{3}{2}=1{,}5.$$

Ответ: $1{,}5$.

б) $\displaystyle 2\sin\pi + 3\cos\pi + \ctg\frac{\pi}{2}$

Подставляем:

$$\sin\pi=0,\quad \cos\pi=-1,\quad \ctg\frac{\pi}{2}=0.$$

Считаем:

$$2\sin\pi = 2 \cdot 0 = 0,\quad 3\cos\pi = 3 \cdot (-1) = -3,\quad \ctg\frac{\pi}{2} = 0.$$

Складываем:

$$0 + (-3) + 0 = -3.$$

Ответ: $-3$.

в) $\displaystyle 2\sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{6} — \frac12 \tg^2\frac{\pi}{3}$

Подставляем:

$$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}.$$

Считаем первый член:

$$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3}{2}.$$

Считаем второй член:

$$\frac12 \tg^2\frac{\pi}{3} = \frac12 \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac12 \cdot 3 = \frac{3}{2}.$$

Вычитаем:

$$\frac{3}{2} — \frac{3}{2} = 0.$$

Ответ: $0$.

г) $\displaystyle 2\tg 0 + 8\cos\frac{3\pi}{2} — 6\sin^2\frac{\pi}{3}$

Подставляем:

$$\tg 0 = 0,\quad \cos\frac{3\pi}{2} = 0,\quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Считаем:

$$2\tg 0 = 2 \cdot 0 = 0,\quad 8\cos\frac{3\pi}{2} = 8 \cdot 0 = 0,$$ $$\sin^2\frac{\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4},\quad -6\sin^2\frac{\pi}{3} = -6 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}.$$

Складываем:

$$0 + 0 — \frac{9}{2} = -\frac{9}{2} = -4{,}5.$$

Ответ: $-4{,}5$.

Итог:

а) $1{,}5$
б) $-3$
в) $0$
г) $-4{,}5$