ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $1-{\sin }^{2}t$

б) ${\cos }^{2}t-1$

в) $1-{\cos }^{2}t$

г) ${\sin }^{2}t-1$

а) $1 — \sin^2 t = \cos^2 t$.
Ответ: $\cos^2 t$.

б) $\cos^2 t — 1 = -\sin^2 t$.
Ответ: $-\sin^2 t$.

в) $1 — \cos^2 t = \sin^2 t$.
Ответ: $\sin^2 t$.

г) $\sin^2 t — 1 = -\cos^2 t$.
Ответ: $-\cos^2 t$.

а) $1 — \sin^2 t$

Мы начинаем с выражения $1 — \sin^2 t$.

Используем основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$
Из этого тождества можем выразить $1$ как $\sin^2 t + \cos^2 t$.

Подставляем это в исходное выражение:

$$1 — \sin^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t) — \sin^2 t.$$

Теперь видим, что $\sin^2 t$ и $-\sin^2 t$ взаимно уничтожаются:

$$(\sin^2 t — \sin^2 t) + \cos^2 t = \cos^2 t.$$

Ответ: $\cos^2 t$.

б) $\cos^2 t — 1$

Начинаем с выражения $\cos^2 t — 1$.

Используем опять же основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 t + \cos^2 t = 1,$
из которого $1 = \sin^2 t + \cos^2 t$.

Подставляем это в исходное выражение:

$$\cos^2 t — 1 = \cos^2 t — (\sin^2 t + \cos^2 t).$$

Раскрываем скобки:

$$\cos^2 t — \sin^2 t — \cos^2 t.$$

Видим, что $\cos^2 t — \cos^2 t = 0$, и остается только:

$$-\sin^2 t.$$

Ответ: $-\sin^2 t$.

в) $1 — \cos^2 t$

Начинаем с выражения $1 — \cos^2 t$.

Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого $1 = \sin^2 t + \cos^2 t$.

Подставляем это в исходное выражение:

$$1 — \cos^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t) — \cos^2 t.$$

Раскрываем скобки:

$$\sin^2 t + \cos^2 t — \cos^2 t.$$

Видим, что $\cos^2 t — \cos^2 t = 0$, и остается только:

$$\sin^2 t.$$

Ответ: $\sin^2 t$.

г) $\sin^2 t — 1$

Начинаем с выражения $\sin^2 t — 1$.

Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого $1 = \sin^2 t + \cos^2 t$.

Подставляем это в исходное выражение:

$$\sin^2 t — 1 = \sin^2 t — (\sin^2 t + \cos^2 t).$$

Раскрываем скобки:

$$\sin^2 t — \sin^2 t — \cos^2 t.$$

Видим, что $\sin^2 t — \sin^2 t = 0$, и остается только:

$$-\cos^2 t.$$

Ответ: $-\cos^2 t$.

Итог:

а) $\cos^2 t$

б) $-\sin^2 t$

в) $\sin^2 t$

г) $-\cos^2 t$