ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $s = f(t)$, если:

а) $f(t) = 1 — (\cos^2 t — \sin^2 t)$;

$f(t) = (\cos^2 t + \sin^2 t) — (\cos^2 t — \sin^2 t) = 2 \sin^2 t$;

Множество значений:

$$-1 \leq \sin t \leq 1;$$ $$0 \leq \sin^2 t \leq 1;$$ $$0 \leq 2 \sin^2 t \leq 2;$$

Ответ: $0; 2$.

б) $f(t) = 1 — \sin t \cdot \cos t \cdot \operatorname{tg} t$;

$f(t) = (\sin^2 t + \cos^2 t) — \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = \cos^2 t$;

Множество значений:

$$-1 \leq \cos t \leq 1;$$ $$0 \leq \cos^2 t \leq 1;$$

Не определено при:

$$t = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad \cos^2 \frac{\pi}{2} = 0;$$

Ответ: $S_{\text{наиб}} = 1$; $S_{\text{наим}}$ — нет.

в) $f(t) = \sin t + 3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$;

$f(t) = \sin t + 3 (\sin^2 t + \cos^2 t) = \sin t + 3$;

Множество значений:

$$-1 \leq \sin t \leq 1;$$ $$2 \leq \sin t + 3 \leq 4;$$

Ответ: $2; 4$.

г) $f(t) = \cos^2 t \cdot \operatorname{tg}^2 t + 5 \cos^2 t — 1$;

$f(t) = \cos^2 t \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + 5 \cos^2 t — (\sin^2 t + \cos^2 t)$;

$f(t) = \sin^2 t + 4 \cos^2 t — \sin^2 t = 4 \cos^2 t$;

Множество значений:

$$-1 \leq \cos t \leq 1;$$ $$0 \leq \cos^2 t \leq 1;$$ $$0 \leq 4 \cos^2 t \leq 4;$$

Не определено при:

$$t = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad 4 \cos^2 \frac{\pi}{2} = 0;$$

Ответ: $S_{\text{наиб}} = 4$; $S_{\text{наим}}$ — нет.

а) $f(t) = 1 — (\cos^2 t — \sin^2 t)$;

Шаг 1: Упрощаем выражение для $f(t)$.

Исходное выражение для $f(t)$:

$$f(t) = 1 — (\cos^2 t — \sin^2 t)$$

Используем тождество для разности квадратов, которое гласит, что $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, и преобразуем выражение:

$$f(t) = 1 — (\cos^2 t — \sin^2 t) = (\cos^2 t + \sin^2 t) — (\cos^2 t — \sin^2 t)$$

Преобразуем это:

$$f(t) = 1 — (\cos^2 t — \sin^2 t) = 2 \sin^2 t$$

Шаг 2: Определяем множество значений для $f(t)$.

Множество значений для $\sin t$:

$$-1 \leq \sin t \leq 1$$

Теперь находим диапазон для $\sin^2 t$:

$$0 \leq \sin^2 t \leq 1$$

Умножаем на 2:

$$0 \leq 2 \sin^2 t \leq 2$$

Таким образом, $f(t) = 2 \sin^2 t$ принимает значения от 0 до 2.

Ответ:

$$0 \leq f(t) \leq 2$$

б) $f(t) = 1 — \sin t \cdot \cos t \cdot \operatorname{tg} t$;

Шаг 1: Упрощаем выражение для $f(t)$.

Запишем исходное выражение для $f(t)$:

$$f(t) = 1 — \sin t \cdot \cos t \cdot \operatorname{tg} t$$

Теперь, используя определение тангенса $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$, подставим это в выражение для $f(t)$:

$$f(t) = 1 — \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t}$$

Упростим:

$$f(t) = 1 — \sin^2 t$$

Так как $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, мы получаем:

$$f(t) = \cos^2 t$$

Шаг 2: Определяем множество значений для $f(t)$.

Множество значений для $\cos t$:

$$-1 \leq \cos t \leq 1$$

Теперь находим диапазон для $\cos^2 t$:

$$0 \leq \cos^2 t \leq 1$$

Таким образом, $f(t) = \cos^2 t$ принимает значения от 0 до 1.

Шаг 3: Исключения (неопределенность).

Функция $f(t) = \cos^2 t$ не определена для $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, так как в этот момент $\cos t = 0$, и выражение для $\operatorname{tg} t$ становится неопределенным (деление на 0).

Ответ:

$$S_{\text{наиб}} = 1; \quad S_{\text{наим}} \text{ — нет.}$$

в) $f(t) = \sin t + 3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$;

Шаг 1: Упрощаем выражение для $f(t)$.

Исходное выражение для $f(t)$:

$$f(t) = \sin t + 3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$$

Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, чтобы упростить выражение:

$$f(t) = \sin t + 3 (\sin^2 t + \cos^2 t) = \sin t + 3 \cdot 1$$

Таким образом, выражение для $f(t)$ упрощается до:

$$f(t) = \sin t + 3$$

Шаг 2: Определяем множество значений для $f(t)$.

Множество значений для $\sin t$:

$$-1 \leq \sin t \leq 1$$

Теперь находим диапазон для $\sin t + 3$:

$$2 \leq \sin t + 3 \leq 4$$

Ответ:

$$2 \leq f(t) \leq 4$$

г) $f(t) = \cos^2 t \cdot \operatorname{tg}^2 t + 5 \cos^2 t — 1$;

Шаг 1: Упрощаем выражение для $f(t)$.

Запишем исходное выражение для $f(t)$:

$$f(t) = \cos^2 t \cdot \operatorname{tg}^2 t + 5 \cos^2 t — 1$$

Используем определение тангенса $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$:

$$\operatorname{tg}^2 t = \left( \frac{\sin t}{\cos t} \right)^2 = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Теперь подставим это в исходное выражение для $f(t)$:

$$f(t) = \cos^2 t \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + 5 \cos^2 t — 1$$

Упростим:

$$f(t) = \sin^2 t + 5 \cos^2 t — 1$$

Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$$f(t) = \sin^2 t + 4 \cos^2 t$$

Шаг 2: Определяем множество значений для $f(t)$.

Множество значений для $\cos t$:

$$-1 \leq \cos t \leq 1$$

Теперь находим диапазон для $\cos^2 t$:

$$0 \leq \cos^2 t \leq 1$$

Умножаем на 4:

$$0 \leq 4 \cos^2 t \leq 4$$

Таким образом, $f(t) = 4 \cos^2 t$ принимает значения от 0 до 4.

Шаг 3: Исключения (неопределенность).

Функция $f(t)$ не определена для $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, так как в этот момент $\cos t = 0$, и выражение для $\operatorname{tg} t$ становится неопределенным (деление на 0).

Ответ:

$$S_{\text{наиб}} = 4; \quad S_{\text{наим}} \text{ — нет.}$$

Ответы:

а) $0; 2$

б) $S_{\text{наиб}} = 1$; $S_{\text{наим}} \text{ — нет.}$

в) $2; 4$

г) $S_{\text{наиб}} = 4$; $S_{\text{наим}} \text{ — нет.}$