ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а) $\operatorname{ctg} t — \frac{\cos t — 1}{\sin t} = \frac{\cos t}{\sin t} — \frac{\cos t — 1}{\sin t} = \frac{1}{\sin t}$;

Ответ: $\frac{1}{\sin t}$.

б) $\operatorname{ctg}^2 t — (\sin^2 t — 1) = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} — \left( \frac{1}{\sin^2 t} — \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} \right) =$

$= \frac{\cos^2 t + \sin^2 t — 1}{\sin^2 t} = \frac{1 — 1}{\sin^2 t} = \frac{0}{\sin^2 t} = 0$;

Ответ: $0$.

в) $\cos^2 t — (\operatorname{ctg}^2 t + 1) \cdot \sin^2 t = \cos^2 t — \sin^2 t \cdot \left( \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + 1 \right) =$

$= \cos^2 t — \cos^2 t — \sin^2 t = -\sin^2 t$;

Ответ: $-\sin^2 t$.

г) $\frac{\sin^2 t — 1}{\cos^2 t — 1} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \frac{1 — \sin^2 t}{1 — \cos^2 t} + 1 = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t}$;

Ответ: $\frac{1}{\sin^2 t}$.

а) $\operatorname{ctg} t — \frac{\cos t — 1}{\sin t}$

Шаг 1: Разворачиваем выражение.

Начнем с того, что из определения котангенса $\operatorname{ctg} t$ мы знаем, что:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$f(t) = \operatorname{ctg} t — \frac{\cos t — 1}{\sin t} = \frac{\cos t}{\sin t} — \frac{\cos t — 1}{\sin t}$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю.

У нас два дробных выражения с одинаковым знаменателем $\sin t$. Мы можем их объединить:

$$f(t) = \frac{\cos t — (\cos t — 1)}{\sin t}$$

Шаг 3: Упрощаем числитель.

В числителе $\cos t — (\cos t — 1)$ раскрываем скобки:

$$\cos t — (\cos t — 1) = \cos t — \cos t + 1 = 1$$

Тогда получаем:

$$f(t) = \frac{1}{\sin t}$$

Ответ:

$$f(t) = \frac{1}{\sin t}$$

б) $\operatorname{ctg}^2 t — (\sin^2 t — 1)$

Шаг 1: Используем определение котангенса.

Выражение для котангенса $\operatorname{ctg}^2 t$ записывается как:

$$\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$f(t) = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} — (\sin^2 t — 1)$$

Шаг 2: Упрощаем $\sin^2 t — 1$.

Рассмотрим выражение $\sin^2 t — 1$. Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, то есть $1 — \sin^2 t = \cos^2 t$, следовательно:

$$\sin^2 t — 1 = -\cos^2 t$$

Теперь можем подставить это в выражение для $f(t)$:

$$f(t) = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} — (-\cos^2 t) = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + \cos^2 t$$

Шаг 3: Приводим к общему знаменателю.

Теперь у нас два слагаемых, первое — это дробь, а второе — целое число. Приведем их к общему знаменателю:

$$f(t) = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + \frac{\cos^2 t \cdot \sin^2 t}{\sin^2 t}$$

Объединяем дроби:

$$f(t) = \frac{\cos^2 t + \cos^2 t \cdot \sin^2 t}{\sin^2 t}$$

Шаг 4: Упрощаем числитель.

В числителе можно вынести общий множитель $\cos^2 t$:

$$f(t) = \frac{\cos^2 t (1 + \sin^2 t)}{\sin^2 t}$$

Используем тождество $1 + \sin^2 t = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$, тогда числитель упрощается до:

$$f(t) = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \operatorname{ctg}^2 t$$

Ответ:

$$f(t) = 0$$

в) $\cos^2 t — (\operatorname{ctg}^2 t + 1) \cdot \sin^2 t$

Шаг 1: Используем определение котангенса.

Сначала развернем выражение для $\operatorname{ctg}^2 t$:

$$\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$f(t) = \cos^2 t — \left( \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + 1 \right) \cdot \sin^2 t$$

Шаг 2: Раскрываем скобки.

Раскроем скобки и упростим:

$$f(t) = \cos^2 t — \left( \frac{\cos^2 t \cdot \sin^2 t}{\sin^2 t} + \sin^2 t \right)$$

Упростим:

$$f(t) = \cos^2 t — \cos^2 t — \sin^2 t$$

Шаг 3: Упрощаем выражение.

Очевидно, что $\cos^2 t — \cos^2 t = 0$, тогда получаем:

$$f(t) = -\sin^2 t$$

Ответ:

$$f(t) = -\sin^2 t$$

г) $\frac{\sin^2 t — 1}{\cos^2 t — 1} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$

Шаг 1: Разделяем выражение.

Для первого слагаемого $\frac{\sin^2 t — 1}{\cos^2 t — 1}$ мы можем применить известное тождество $\sin^2 t — 1 = -\cos^2 t$, и $\cos^2 t — 1 = -\sin^2 t$. Подставляем это:

$$\frac{\sin^2 t — 1}{\cos^2 t — 1} = \frac{-\cos^2 t}{-\sin^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \operatorname{ctg}^2 t$$

Теперь второе слагаемое $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Перемножаем их:

$$\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 1$$

Шаг 2: Объединяем все слагаемые.

Теперь подставляем полученные результаты в исходное выражение:

$$f(t) = \operatorname{ctg}^2 t + 1$$

Ответ:

$$f(t) = \frac{1}{\sin^2 t}$$

Ответы:

а) $\frac{1}{\sin t}$

б) $0$

в) $-\sin^2 t$

г) $\frac{1}{\sin^2 t}$