ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а)

$$\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 — \cos t} = \frac{\sin t \cdot (1 — \cos t) + \sin t \cdot (1 + \cos t)}{(1 — \cos t)(1 + \cos t)} =$$ $$= \frac{\sin t — \sin t \cdot \cos t + \sin t + \sin t \cdot \cos t}{1 — \cos^2 t} = \frac{2 \sin t}{\sin^2 t} = \frac{2}{\sin t};$$

Ответ: $\frac{2}{\sin t}$.

б)

$$\operatorname{ctg}^2 t \cdot (\cos^2 t — 1) + 1 = -\operatorname{ctg}^2 t \cdot (1 — \cos^2 t) + 1 =$$ $$= -\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot \sin^2 t + 1 = -\cos^2 t + (\cos^2 t + \sin^2 t) = \sin^2 t;$$

Ответ: $\sin^2 t$.

в)

$$\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 — \sin t} = \frac{\cos t \cdot (1 — \sin t) + \cos t \cdot (1 + \sin t)}{(1 — \sin t)(1 + \sin t)} =$$ $$= \frac{\cos t — \sin t \cdot \cos t + \cos t + \sin t \cdot \cos t}{1 — \sin^2 t} = \frac{2 \cos t}{\cos^2 t} = \frac{2}{\cos t};$$

Ответ: $\frac{2}{\cos t}$.

г)

$$\frac{\operatorname{tg} t + 1}{1 + \operatorname{ctg} t} = \frac{\frac{\sin t}{\cos t} + 1}{\frac{\cos t}{\sin t} + 1} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t} : \frac{\cos t + \sin t}{\sin t} =$$ $$= \frac{\sin t + \cos t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t + \sin t} = \frac{\sin t}{\cos t} = \operatorname{tg} t;$$

Ответ: $\operatorname{tg} t$.

а) Упростить выражение:

$$\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 — \cos t}$$

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Для того чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Мы видим, что знаменатели — это выражения вида $1 + \cos t$ и $1 — \cos t$, и они разные. Общий знаменатель будет произведением этих двух выражений:

$$(1 + \cos t)(1 — \cos t)$$

Шаг 2: Умножение числителей

Теперь умножим числители на соответствующие выражения так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Для первой дроби умножим числитель и знаменатель на $1 — \cos t$, а для второй — на $1 + \cos t$:

$$\frac{\sin t}{1 + \cos t} \cdot \frac{1 — \cos t}{1 — \cos t} + \frac{\sin t}{1 — \cos t} \cdot \frac{1 + \cos t}{1 + \cos t}$$

Теперь числители становятся:

$$\sin t \cdot (1 — \cos t) + \sin t \cdot (1 + \cos t)$$

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель — это произведение $(1 + \cos t)(1 — \cos t)$. Используем формулу разности квадратов:

$$(1 + \cos t)(1 — \cos t) = 1 — \cos^2 t$$

Теперь подставляем это в наше выражение:

$$\frac{\sin t \cdot (1 — \cos t) + \sin t \cdot (1 + \cos t)}{1 — \cos^2 t}$$

Шаг 4: Упрощение числителя

Давайте упростим числитель:

$$\sin t \cdot (1 — \cos t) + \sin t \cdot (1 + \cos t)$$

Раскроем скобки:

$$= \sin t — \sin t \cdot \cos t + \sin t + \sin t \cdot \cos t$$

Теперь соберем подобные слагаемые:

$$= \sin t + \sin t — \sin t \cdot \cos t + \sin t \cdot \cos t$$

Заметим, что $-\sin t \cdot \cos t + \sin t \cdot \cos t = 0$, поэтому остается:

$$= 2 \sin t$$

Шаг 5: Упрощение знаменателя

Теперь у нас есть выражение:

$$\frac{2 \sin t}{1 — \cos^2 t}$$

Используем известную тождественность $1 — \cos^2 t = \sin^2 t$, и подставим это в выражение:

$$\frac{2 \sin t}{\sin^2 t}$$

Шаг 6: Упрощение

Теперь можем упростить дробь:

$$\frac{2 \sin t}{\sin^2 t} = \frac{2}{\sin t}$$

Ответ: $\frac{2}{\sin t}$

б) Упростить выражение:

$$\operatorname{ctg}^2 t \cdot (\cos^2 t — 1) + 1$$

Шаг 1: Использование тригонометрического тождества

Заменим выражение $\cos^2 t — 1$ на $-\sin^2 t$ (по тождеству $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$):

$$\operatorname{ctg}^2 t \cdot (-\sin^2 t) + 1$$

Шаг 2: Замена $\operatorname{ctg}^2 t$

Напоминаем, что $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, значит:

$$\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot (-\sin^2 t) + 1$$

Шаг 3: Упрощение

Умножаем:

$$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot (-\sin^2 t) = -\cos^2 t$$

Теперь у нас выражение:

$$-\cos^2 t + 1$$

Используем тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, чтобы заменить $1$ на $\cos^2 t + \sin^2 t$:

$$-\cos^2 t + (\cos^2 t + \sin^2 t)$$

Шаг 4: Упрощение

Теперь видим, что $-\cos^2 t + \cos^2 t = 0$, поэтому остается:

$$\sin^2 t$$

Ответ: $\sin^2 t$

в) Упростить выражение:

$$\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 — \sin t}$$

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Для того чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением $(1 + \sin t)(1 — \sin t)$:

$$(1 + \sin t)(1 — \sin t) = 1 — \sin^2 t$$

Шаг 2: Умножение числителей

Теперь умножим числители на соответствующие выражения так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Для первой дроби умножим числитель и знаменатель на $1 — \sin t$, а для второй — на $1 + \sin t$:

$$\frac{\cos t}{1 + \sin t} \cdot \frac{1 — \sin t}{1 — \sin t} + \frac{\cos t}{1 — \sin t} \cdot \frac{1 + \sin t}{1 + \sin t}$$

Теперь числители:

$$\cos t \cdot (1 — \sin t) + \cos t \cdot (1 + \sin t)$$

Шаг 3: Упрощение числителя

Раскроем скобки:

$$\cos t \cdot (1 — \sin t) + \cos t \cdot (1 + \sin t) = \cos t — \cos t \cdot \sin t + \cos t + \cos t \cdot \sin t$$

Собираем подобные слагаемые:

$$= \cos t + \cos t — \cos t \cdot \sin t + \cos t \cdot \sin t$$

Заметим, что $-\cos t \cdot \sin t + \cos t \cdot \sin t = 0$, поэтому остается:

$$= 2 \cos t$$

Шаг 4: Упрощение знаменателя

Теперь у нас выражение:

$$\frac{2 \cos t}{1 — \sin^2 t}$$

Используем тождество $1 — \sin^2 t = \cos^2 t$, подставляем это:

$$\frac{2 \cos t}{\cos^2 t}$$

Шаг 5: Упрощение

Теперь упростим дробь:

$$\frac{2 \cos t}{\cos^2 t} = \frac{2}{\cos t}$$

Ответ: $\frac{2}{\cos t}$

г) Упростить выражение:

$$\frac{\operatorname{tg} t + 1}{1 + \operatorname{ctg} t}$$

Шаг 1: Замена тангенса и котангенса

Заменим $\operatorname{tg} t$ на $\frac{\sin t}{\cos t}$ и $\operatorname{ctg} t$ на $\frac{\cos t}{\sin t}$:

$$\frac{\frac{\sin t}{\cos t} + 1}{1 + \frac{\cos t}{\sin t}}$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Приводим обе дроби к общему знаменателю.

Для числителя:

$$\frac{\sin t}{\cos t} + 1 = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t}$$

Для знаменателя:

$$1 + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin t + \cos t}{\sin t}$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{\frac{\sin t + \cos t}{\cos t}}{\frac{\sin t + \cos t}{\sin t}}$$

Шаг 3: Упрощение

Мы видим, что числитель и знаменатель имеют одинаковые выражения $\sin t + \cos t$, поэтому можем их сократить:

$$\frac{\frac{1}{\cos t}}{\frac{1}{\sin t}} = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Это и есть $\operatorname{tg} t$.

Ответ: $\operatorname{tg} t$