ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Дано: $\sin(4\pi + t) = \frac{3}{5}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Вычислите $\operatorname{tg}(\pi — t)$.

б) Дано: $\cos(2\pi + t) = \frac{12}{13}$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Вычислите $\operatorname{ctg}(\pi — t)$.

Вычислить значение выражения:

а) $\sin(4\pi + t) = \frac{3}{5}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$\sin t = \sin(t + 4\pi) = \frac{3}{5};$$ $$\cos t = +\sqrt{1 — \sin^2 t} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\tg(\pi — t) = -\tg t = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4};$$

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

б) $\cos(2\pi + t) = \frac{12}{13}$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти:

$$\cos t = \cos(t + 2\pi) = \frac{12}{13};$$ $$\sin t = -\sqrt{1 — \cos^2 t} = -\sqrt{\frac{169}{169} — \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13};$$ $$\ctg(\pi — t) = -\ctg t = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5};$$

Ответ: $\frac{12}{5}$.

а) $\sin(4\pi + t) = \frac{3}{5}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Решение:

Определим значение $\sin t$:

Нам дано $\sin(4\pi + t) = \frac{3}{5}$. Используем периодичность функции синуса. Так как $\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$ для любого $\theta$, то:

$$\sin(4\pi + t) = \sin(t).$$

Следовательно:

$$\sin t = \frac{3}{5}.$$

Найдем значение $\cos t$:

Используя тождество Пифагора $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, подставим значение $\sin t = \frac{3}{5}$:

$$\sin^2 t = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}.$$

Тогда:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t = 1 — \frac{9}{25} = \frac{25}{25} — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.$$

Берем положительный корень, так как $t$ лежит в первой четверти, где $\cos t > 0$:

$$\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

Вычислим значение $\tg(\pi — t)$:

Теперь вычислим $\tg(\pi — t)$. Напоминаем, что $\tg(\pi — t) = -\tg t$, поскольку тангенс имеет период $\pi$, а также $\tg(\pi — t) = -\frac{\sin t}{\cos t}$. Подставляем значения для $\sin t$ и $\cos t$:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}.$$

Тогда:

$$\tg(\pi — t) = -\tg t = -\frac{3}{4}.$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{3}{4}}.$$

б) $\cos(2\pi + t) = \frac{12}{13}$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Решение:

Определим значение $\cos t$:

Нам дано $\cos(2\pi + t) = \frac{12}{13}$. Используем периодичность функции косинуса. Так как $\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$ для любого $\theta$, то:

$$\cos(2\pi + t) = \cos t.$$

Следовательно:

$$\cos t = \frac{12}{13}.$$

Найдем значение $\sin t$:

Используем тождество Пифагора $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Подставляем значение $\cos t = \frac{12}{13}$:

$$\cos^2 t = \left(\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{144}{169}.$$

Тогда:

$$\sin^2 t = 1 — \cos^2 t = 1 — \frac{144}{169} = \frac{169}{169} — \frac{144}{169} = \frac{25}{169}.$$

Берем отрицательный корень, так как $t$ лежит в четвертой четверти, где $\sin t < 0$:

$$\sin t = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}.$$

Вычислим значение $\ctg(\pi — t)$:

Теперь вычислим $\ctg(\pi — t)$. Напоминаем, что $\ctg(\pi — t) = -\ctg t$, так как котангенс имеет период $\pi$. Также $\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$. Подставляем значения для $\cos t$ и $\sin t$:

$$\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}.$$

Тогда:

$$\ctg(\pi — t) = -\ctg t = -\left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{12}{5}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{12}{5}}.$$