ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение выражения:

а) $\cos t = -\frac{5}{13}$, где $8,5\pi < t < 9\pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\sin t = +\sqrt{1 — \cos^2 t} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$ $$\sin(-t) = -\sin t = -\frac{12}{13};$$

Ответ: $-\frac{12}{13}$.

б) $\sin t = \frac{4}{5}$, где $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\cos t = -\sqrt{1 — \sin^2 t} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5};$$ $$\cos(-t) + \sin(-t) = \cos t — \sin t = -\frac{3}{5} — \frac{4}{5} = -\frac{7}{5} = -1,4;$$

Ответ: $-1,4$.

а) $\cos t = -\frac{5}{13}$, где $8,5\pi < t < 9\pi$.

Определение области значений угла $t$:

Угол $t$ лежит в интервале $8,5\pi < t < 9\pi$. Чтобы понять, в какой четверти находится угол $t$, давайте распишем этот интервал:

• $8\pi$ — это угловое значение, которое соответствует углу, расположенном на оси абсцисс (начало 4-й четверти).
• $9\pi$ — это угловое значение, которое соответствует углу, расположенном на оси абсцисс (начало 3-й четверти).
• Половина окружности $8,5\pi$ — это точка, которая находится в верхней половине 2-й четверти.

Таким образом, угол $t$ находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

Вычисление значения синуса:

Известно, что $\cos t = -\frac{5}{13}$. Для вычисления синуса используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставим значение $\cos t = -\frac{5}{13}$ в это тождество:

$$\sin^2 t + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 t + \frac{25}{169} = 1$$

Преобразуем:

$$\sin^2 t = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

Теперь находим $\sin t$:

$$\sin t = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}$$

Поскольку угол $t$ лежит во второй четверти, где синус положителен, то:

$$\sin t = \frac{12}{13}$$

Вычисление значения $\sin(-t)$:

Теперь вычислим $\sin(-t)$. Мы знаем, что $\sin(-t) = -\sin t$. Подставим полученное значение $\sin t$:

$$\sin(-t) = -\frac{12}{13}$$

Ответ для пункта (а):
Ответ: $-\frac{12}{13}$.

б) $\sin t = \frac{4}{5}$, где $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$.

Определение области значений угла $t$:

Угол $t$ лежит в интервале $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$. Давайте определим, в какой четверти находится угол $t$:

• $\frac{9\pi}{2}$ — это угловое значение, соответствующее положению угла в 2-й четверти, так как угол больше $\frac{3\pi}{2}$, но меньше $2\pi$.
• $5\pi$ — это угловое значение, которое соответствует положению угла в 3-й четверти.

Таким образом, угол $t$ находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

Вычисление значения косинуса:

Известно, что $\sin t = \frac{4}{5}$. Для вычисления $\cos t$ используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставим значение $\sin t = \frac{4}{5}$ в это тождество:

$$\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 t = 1$$ $$\frac{16}{25} + \cos^2 t = 1$$

Преобразуем:

$$\cos^2 t = 1 — \frac{16}{25} = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

Теперь находим $\cos t$:

$$\cos t = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$$

Поскольку угол $t$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, то:

$$\cos t = -\frac{3}{5}$$

Вычисление значения $\cos(-t)$ и $\sin(-t)$:

Теперь вычислим $\cos(-t)$ и $\sin(-t)$:

• $\cos(-t) = \cos t = -\frac{3}{5}$ (так как косинус чётная функция).
• $\sin(-t) = -\sin t = -\frac{4}{5}$ (так как синус нечётная функция).

Вычисление выражения $\cos(-t) + \sin(-t)$:

Теперь вычислим сумму $\cos(-t) + \sin(-t)$:

$$\cos(-t) + \sin(-t) = -\frac{3}{5} — \frac{4}{5} = -\frac{7}{5} = -1,4$$

Ответ для пункта (б):
Ответ: $-1,4$.

Итоговые ответы:

а) $-\frac{12}{13}$
б) $-1,4$