ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = 2,3$, вычислить:

$$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = \operatorname{tg}^2 t + 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t + \operatorname{ctg}^2 t — 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t =$$ $$= (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 — 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 2,3^2 — 2 \cdot 1 = 5,29 — 2 = 3,29;$$

Ответ: 3,29.

Известно, что $\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = 2,3$, необходимо вычислить выражение:

$$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t$$

Шаг 1: Разложение выражения

Мы начинаем с того, что пытаемся упростить выражение для $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t$, чтобы сделать его удобным для дальнейших вычислений. Для этого используем следующее преобразование:

$$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 — 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$$

Это основано на формуле квадрата суммы:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

В нашем случае $a = \operatorname{tg} t$ и $b = \operatorname{ctg} t$, и если мы подставим их в формулу, получим:

$$(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 = \operatorname{tg}^2 t + 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t + \operatorname{ctg}^2 t$$

Таким образом, выражение $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t$ можно выразить как:

$$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 — 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$$

Шаг 2: Подставим известные значения

В задаче нам дано, что:

$$\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = 2,3$$

Теперь подставим это в наше выражение:

$$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = (2,3)^2 — 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$$

Шаг 3: Вычислим квадрат суммы

Вычислим $(2,3)^2$:

$$(2,3)^2 = 5,29$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = 5,29 — 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$$

Шаг 4: Используем связь между $\operatorname{tg} t$ и $\operatorname{ctg} t$

Для дальнейшего упрощения нам нужно найти значение произведения $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$. Мы знаем, что:

$$\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$$

Это следует из того, что $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, и их произведение:

$$\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \left( \frac{\sin t}{\cos t} \right) \cdot \left( \frac{\cos t}{\sin t} \right) = 1$$

Шаг 5: Завершаем вычисления

Теперь подставим $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$ в наше выражение:

$$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = 5,29 — 2 \cdot 1$$ $$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = 5,29 — 2 = 3,29$$

Ответ:

Таким образом, ответ на задачу:

$$\boxed{3,29}$$