ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{(\sin t+\cos t{)}^2}{1+2\sin t\cdot \cos t}$

б) $\frac{1-2\sin t\cdot \cos t}{(\cos t-\sin t{)}^2}$

Упростите выражение:

а) $\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cdot \cos t} = \frac{(\sin t + \cos t)^2}{\sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t} = \frac{(\sin t + \cos t)^2}{(\sin t + \cos t)^2} = 1$;

Ответ: 1.

б) $\frac{1 — 2 \sin t \cdot \cos t}{(\cos t — \sin t)^2} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t}{(\cos t — \sin t)^2} = \frac{(\cos t — \sin t)^2}{(\cos t — \sin t)^2} = 1$;

Ответ: 1.

Задача а)

Упростим выражение:

$$\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cdot \cos t}$$

Шаг 1: Раскроем квадрат в числителе

В числителе у нас выражение $(\sin t + \cos t)^2$, которое можно разложить с помощью формулы для квадрата суммы:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t + \cos^2 t$$

Таким образом, числитель принимает вид:

$$\sin^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t + \cos^2 t$$

Шаг 2: Упростим знаменатель

В знаменателе у нас выражение $1 + 2 \sin t \cdot \cos t$. Заметим, что $1 = \sin^2 t + \cos^2 t$ (по основному тригонометрическому тождеству). Подставим это в знаменатель:

$$1 + 2 \sin t \cdot \cos t = \sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t$$

Теперь оба выражения (числитель и знаменатель) имеют одинаковую структуру:

$$\frac{\sin^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t + \cos^2 t}{\sin^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t + \cos^2 t}$$

Шаг 3: Упростим дробь

Числитель и знаменатель одинаковы, следовательно, их отношение равно 1:

$$\frac{\sin^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t + \cos^2 t}{\sin^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t + \cos^2 t} = 1$$

Ответ: 1

Задача б)

Упростим выражение:

$$\frac{1 — 2 \sin t \cdot \cos t}{(\cos t — \sin t)^2}$$

Шаг 1: Перепишем числитель

В числителе у нас выражение $1 — 2 \sin t \cdot \cos t$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, чтобы переписать 1 как $\sin^2 t + \cos^2 t$:

$$1 — 2 \sin t \cdot \cos t = \sin^2 t + \cos^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t$$

Шаг 2: Раскроем квадрат в знаменателе

В знаменателе у нас выражение $(\cos t — \sin t)^2$. Раскроем этот квадрат по формуле для квадрата разности:

$$(\cos t — \sin t)^2 = \cos^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t + \sin^2 t$$

Теперь знаменатель принимает вид:

$$\cos^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t + \sin^2 t$$

Шаг 3: Сравним числитель и знаменатель

Теперь у нас числитель и знаменатель имеют одинаковую структуру:

$$\sin^2 t + \cos^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t = \cos^2 t + \sin^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t$$

Следовательно, числитель и знаменатель одинаковы, и их отношение также равно 1:

$$\frac{\cos^2 t + \sin^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t}{\cos^2 t + \sin^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t} = 1$$

Ответ: 1