ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать, что при всех допустимых значениях $t$ выражение принимает одно и то же значение:

а) $\sin^4 t — \cos^4 t + 2 \cos^2 t =$

$= (\sin^2 t — \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \cos^2 t =$

$= (\sin^2 t — \cos^2 t) + 2 \cos^2 t = \sin^2 t + \cos^2 t = 1;$

Ответ: 1.

б) $\frac{2 — \sin^2 t — \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t} = \frac{2 — (\sin^2 t + \cos^2 t)}{3 \cdot (\sin^2 t + \cos^2 t)} = \frac{2 — 1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3};$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) $\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1;$

Ответ: 1.

г) $\frac{\sin^4 t — \cos^4 t}{\sin^2 t — \cos^2 t} = \frac{(\sin^2 t — \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)}{\sin^2 t — \cos^2 t} = 1;$

Ответ: 1.

а) $\sin^4 t — \cos^4 t + 2 \cos^2 t$

Начнем с упрощения выражения $\sin^4 t — \cos^4 t + 2 \cos^2 t$. Заметим, что $\sin^4 t — \cos^4 t$ является разностью квадратов:

$$\sin^4 t — \cos^4 t = (\sin^2 t — \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Теперь подставим это выражение в исходное:

$$\sin^4 t — \cos^4 t + 2 \cos^2 t = (\sin^2 t — \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \cos^2 t$$

Используя основной тригонометрический идентификатор $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:

$$= (\sin^2 t — \cos^2 t)(1) + 2 \cos^2 t$$

Упростим это выражение:

$$= \sin^2 t — \cos^2 t + 2 \cos^2 t$$

Теперь объединяем подобные слагаемые:

$$= \sin^2 t + \cos^2 t$$

Так как $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ по тригонометрической тождественности, мы получаем:

$$= 1$$

Ответ: 1.

б) $\frac{2 — \sin^2 t — \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t}$

Начнем с упрощения числителя и знаменателя.
Числитель:

$$2 — \sin^2 t — \cos^2 t$$

Заменяем $\sin^2 t + \cos^2 t$ на 1:

$$= 2 — (\sin^2 t + \cos^2 t) = 2 — 1 = 1$$

Теперь знаменатель:

$$3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t = 3 (\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$$= 3 \cdot 1 = 3$$

Теперь подставим числитель и знаменатель в выражение:

$$\frac{2 — \sin^2 t — \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) $\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t$

Рассмотрим выражение $\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t$.
Заметим, что:

$$\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2$$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$$= (1)^2 = 1$$

Ответ: 1.

г) $\frac{\sin^4 t — \cos^4 t}{\sin^2 t — \cos^2 t}$

Начнем с упрощения выражения $\frac{\sin^4 t — \cos^4 t}{\sin^2 t — \cos^2 t}$.
Заметим, что $\sin^4 t — \cos^4 t$ является разностью квадратов:

$$\sin^4 t — \cos^4 t = (\sin^2 t — \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{(\sin^2 t — \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)}{\sin^2 t — \cos^2 t}$$

Видим, что $\sin^2 t — \cos^2 t$ в числителе и знаменателе сокращаются:

$$= \sin^2 t + \cos^2 t$$

Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$$= 1$$

Ответ: 1.$1$