ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значения остальных тригонометрических функций:

а) $\operatorname{tg} t = \frac{3}{4}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$\cos t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5};$$ $$\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t} = \frac{4}{3};$$

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}; \, \cos t = \frac{4}{5}; \, \operatorname{ctg} t = \frac{4}{3}$.

б) $\operatorname{tg} t = 2.4$, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит третьей четверти:

$$\operatorname{tg} t = 2.4 = \frac{240}{100} = \frac{12}{5};$$ $$\cos t = -\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{25} + \frac{144}{25}}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13};$$ $$\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = \frac{12}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{13};$$ $$\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t} = \frac{5}{12};$$

Ответ: $\sin t = -\frac{12}{13}; \, \cos t = -\frac{5}{13}; \, \operatorname{ctg} t = \frac{5}{12}$.

в) $\operatorname{tg} t = -\frac{3}{4}$, где $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\cos t = -\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5};$$ $$\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = -\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5};$$ $$\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{4}{3};$$

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}; \, \cos t = -\frac{4}{5}; \, \operatorname{ctg} t = -\frac{4}{3}$.

г) $\operatorname{tg} t = -\frac{5}{12}$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти:

$$\cos t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{144}{144} + \frac{25}{144}}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$ $$\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = -\frac{5}{12} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{5}{13};$$ $$\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{12}{5};$$

Ответ: $\sin t = -\frac{5}{13}; \, \cos t = \frac{12}{13}; \, \operatorname{ctg} t = -\frac{12}{5}$.

а) $\operatorname{tg} t = \frac{3}{4}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Точка $t$ лежит в первой четверти (так как $0 < t < \frac{\pi}{2}$), где все тригонометрические функции положительные. Задача состоит в том, чтобы найти значения других тригонометрических функций: синуса, косинуса и котангенса.

Шаг 1: Находим $\cos t$ через выражение для тангенса.

Из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Мы знаем, что тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Таким образом, из этого уравнения можем выразить $\sin t$ через $\cos t$:

$$\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = \frac{3}{4} \cdot \cos t$$

Теперь подставим это выражение в тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$$\left( \frac{3}{4} \cdot \cos t \right)^2 + \cos^2 t = 1$$

Преобразуем:

$$\frac{9}{16} \cdot \cos^2 t + \cos^2 t = 1$$

Соберем все слагаемые с $\cos^2 t$ в одну сторону:

$$\left( \frac{9}{16} + 1 \right) \cdot \cos^2 t = 1$$ $$\left( \frac{9}{16} + \frac{16}{16} \right) \cdot \cos^2 t = 1$$ $$\frac{25}{16} \cdot \cos^2 t = 1$$

Теперь решим относительно $\cos^2 t$:

$$\cos^2 t = \frac{16}{25}$$

Извлекаем корень:

$$\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

Так как точка $t$ находится в первой четверти, $\cos t$ положительный.

Ответ: $\cos t = \frac{4}{5}$.

Шаг 2: Находим $\sin t$.

Теперь, зная $\cos t$, можем найти $\sin t$, используя выражение $\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t$:

$$\sin t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}$.

Шаг 3: Находим $\operatorname{ctg} t$ (котангенс).

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t}$$

Подставляем $\operatorname{tg} t = \frac{3}{4}$:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{4}{3}$$

Ответ: $\operatorname{ctg} t = \frac{4}{3}$.

Ответ для пункта а:

$$\sin t = \frac{3}{5}; \quad \cos t = \frac{4}{5}; \quad \operatorname{ctg} t = \frac{4}{3}$$

б) $\operatorname{tg} t = 2.4$, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $t$ лежит в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны. Задача состоит в том, чтобы найти значения синуса, косинуса и котангенса.

Шаг 1: Преобразуем значение тангенса.

Из условия задачи:

$$\operatorname{tg} t = 2.4$$

Запишем это в виде дроби:

$$\operatorname{tg} t = \frac{12}{5}$$

Шаг 2: Находим $\cos t$ через тангенс.

Для нахождения $\cos t$ воспользуемся формулой:

$$\cos t = -\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t}}$$

Подставляем значение $\operatorname{tg} t = \frac{12}{5}$:

$$\cos t = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left( \frac{12}{5} \right)^2}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \frac{144}{25}}}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\cos t = -\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{25} + \frac{144}{25}}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{169}{25}}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$$

Ответ: $\cos t = -\frac{5}{13}$.

Шаг 3: Находим $\sin t$.

Используем выражение $\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t$:

$$\sin t = \frac{12}{5} \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) = -\frac{12}{13}$$

Ответ: $\sin t = -\frac{12}{13}$.

Шаг 4: Находим $\operatorname{ctg} t$ (котангенс).

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t} = \frac{5}{12}$$

Ответ: $\operatorname{ctg} t = \frac{5}{12}$.

Ответ для пункта б:

$$\sin t = -\frac{12}{13}; \quad \cos t = -\frac{5}{13}; \quad \operatorname{ctg} t = \frac{5}{12}$$

в) $\operatorname{tg} t = -\frac{3}{4}$, где $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ лежит во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

Шаг 1: Находим $\cos t$ через тангенс.

Используем ту же формулу для $\cos t$, что и в предыдущих пунктах:

$$\cos t = -\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t}}$$

Подставляем значение $\operatorname{tg} t = -\frac{3}{4}$:

$$\cos t = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left( -\frac{3}{4} \right)^2}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \frac{9}{16}}}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\cos t = -\sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{16}}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$$

Ответ: $\cos t = -\frac{4}{5}$.

Шаг 2: Находим $\sin t$.

Используем выражение для $\sin t$:

$$\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = -\frac{3}{4} \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}$.

Шаг 3: Находим $\operatorname{ctg} t$.

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{4}{3}$$

Ответ: $\operatorname{ctg} t = -\frac{4}{3}$.

Ответ для пункта в:

$$\sin t = \frac{3}{5}; \quad \cos t = -\frac{4}{5}; \quad \operatorname{ctg} t = -\frac{4}{3}$$

г) $\operatorname{tg} t = -\frac{5}{12}$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Точка $t$ лежит в четвертой четверти, где синус отрицателен, а косинус положителен.

Шаг 1: Находим $\cos t$.

Используем ту же формулу для $\cos t$:

$$\cos t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t}}$$

Подставляем значение $\operatorname{tg} t = -\frac{5}{12}$:

$$\cos t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \left( -\frac{5}{12} \right)^2}} = +\sqrt{\frac{1}{1 + \frac{25}{144}}}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\cos t = +\sqrt{\frac{1}{\frac{144}{144} + \frac{25}{144}}} = +\sqrt{\frac{1}{\frac{169}{144}}} = +\sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

Ответ: $\cos t = \frac{12}{13}$.

Шаг 2: Находим $\sin t$.

Используем выражение для $\sin t$:

$$\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = -\frac{5}{12} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{5}{13}$$

Ответ: $\sin t = -\frac{5}{13}$.

Шаг 3: Находим $\operatorname{ctg} t$.

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{12}{5}$$

Ответ: $\operatorname{ctg} t = -\frac{12}{5}$.

Ответ для пункта г:

$$\sin t = -\frac{5}{13}; \quad \cos t = \frac{12}{13}; \quad \operatorname{ctg} t = -\frac{12}{5}$$