ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Переведите из градусной меры в радианную:

а) $120^\circ = \frac{\pi \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3};$

б) $220^\circ = \frac{\pi \cdot 220^\circ}{180^\circ} = \frac{22\pi}{18} = \frac{11\pi}{9};$

в) $300^\circ = \frac{\pi \cdot 300^\circ}{180^\circ} = \frac{30\pi}{18} = \frac{5\pi}{3};$

г) ${765}^{\circ }$

Перевести из градусной меры в радианную:

а) $120^\circ = \frac{\pi \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3};$

б) $220^\circ = \frac{\pi \cdot 220^\circ}{180^\circ} = \frac{22\pi}{18} = \frac{11\pi}{9};$

в) $300^\circ = \frac{\pi \cdot 300^\circ}{180^\circ} = \frac{30\pi}{18} = \frac{5\pi}{3};$

г) $765^\circ = \frac{\pi \cdot 765^\circ}{180^\circ} = \frac{153\pi}{36} = \frac{17\pi}{4}$

Базовое правило перевода

1 радиан — это такая мера угла, при которой длина дуги окружности равна её радиусу. По определению
$180^\circ = \pi$ рад.
Отсюда 1 градус равен

$$1^\circ=\frac{\pi}{180}\ \text{рад}.$$

Значит, любой угол $\alpha^\circ$ в радианах:

$$\alpha^\circ\ \longmapsto\ \alpha\cdot\frac{\pi}{180}\ \text{рад}.$$

Дальше дробь $\dfrac{\alpha}{180}$ сокращаем на наибольший общий делитель (НОД).

а) $120^\circ$

Перевод по формуле

$$120^\circ = 120\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{120}{180}\pi.$$

Сокращение дроби
НОД(120, 180) = 60. Делим числитель и знаменатель на 60:

$$\frac{120}{180}=\frac{120\div 60}{180\div 60}=\frac{2}{3}.$$

Итог

$$\boxed{120^\circ=\frac{2\pi}{3}}\ \text{рад}.$$

Быстрая проверка по смыслу
$120^\circ$ — тупой угол (II четверть). $\frac{2\pi}{3}\approx 2.094$ рад — больше $\frac{\pi}{2}$ и меньше $\pi$. Всё согласуется.

б) $220^\circ$

Перевод по формуле

$$220^\circ = 220\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{220}{180}\pi.$$

Сокращение дроби
НОД(220, 180) = 20. Сокращаем:

$$\frac{220}{180}=\frac{220\div 20}{180\div 20}=\frac{11}{9}.$$

Итог

$$\boxed{220^\circ=\frac{11\pi}{9}}\ \text{рад}.$$

Быстрая проверка
$220^\circ$ — угол III четверти (чуть больше $180^\circ$). $\frac{11\pi}{9}\approx 3.840$ рад — чуть больше $\pi$ ($\approx 3.142$) и меньше $\frac{3\pi}{2}$ ($\approx 4.712$). Корректно.

в) $300^\circ$

Перевод по формуле

$$300^\circ = 300\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{300}{180}\pi.$$

Сокращение дроби
НОД(300, 180) = 60:

$$\frac{300}{180}=\frac{300\div 60}{180\div 60}=\frac{5}{3}.$$

Итог

$$\boxed{300^\circ=\frac{5\pi}{3}}\ \text{рад}.$$

Быстрая проверка
$300^\circ$ — IV четверть (меньше $360^\circ$, больше $270^\circ$). $\frac{5\pi}{3}\approx 5.236$ рад — между $\frac{3\pi}{2}\approx 4.712$ и $2\pi\approx 6.283$. Всё верно.

г) $765^\circ$

Тут можно идти двумя путями — прямой перевод и сведение к соизмеримому углу.

Прямой перевод

$$765^\circ = 765\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{765}{180}\pi.$$

Сокращение дроби
НОД(765, 180) = 15. Сокращаем:

$$\frac{765}{180}=\frac{765\div 15}{180\div 15}=\frac{51}{12}.$$

Ещё раз сокращаем на 3:

$$\frac{51}{12}=\frac{51\div 3}{12\div 3}=\frac{17}{4}.$$

Итог по первому способу

$$\boxed{765^\circ=\frac{17\pi}{4}}\ \text{рад}.$$

Сведение к углу в диапазоне $0^\circ$–$360^\circ$

Так как полный оборот $360^\circ$, вычтем целые обороты:

$$765^\circ-720^\circ=45^\circ.$$

То есть $765^\circ$ сонаправлен (котерминален) углу $45^\circ$ плюс два полных оборота.
В радианах:

$$45^\circ=\frac{\pi}{4},\quad 720^\circ=2\cdot 360^\circ=2\cdot 2\pi=4\pi.$$

Тогда

$$765^\circ=45^\circ+720^\circ=\frac{\pi}{4}+4\pi=\frac{1\pi+16\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}.$$

Совпадает с прямым переводом — проверка пройдена.

Итоговые ответы:

$$\boxed{120^\circ=\frac{2\pi}{3}},\qquad \boxed{220^\circ=\frac{11\pi}{9}},\qquad \boxed{300^\circ=\frac{5\pi}{3}},\qquad \boxed{765^\circ=\frac{17\pi}{4}}.$$