ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите сторону х прямоугольного треугольника, изображённого на данном рисунке:

а) рис. 3;

б) рис. 4;

в) рис. 5;

г) рис. 6.

Найти сторону $x$ прямоугольного треугольника, изображенного на данном рисунке:

а) Рисунок 3:

$$\mathrm{tg}a=\frac{x}{2};$$

$$\tg a = \frac{x}{2};$$ $$x = 2 \tg a;$$

б) Рисунок 4:

$$\cos a=\frac{x}{4};$$

$$\cos a = \frac{x}{4};$$ $$x = 4 \cos a;$$

в) Рисунок 5:

$$\cos a=\frac{3}{x};$$

$$\cos a = \frac{3}{x};$$ $$x\cos a=3;$$

$$x \cos a = 3;$$ $$x = \frac{3}{\cos a};$$

г) Рисунок 6:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{x}{1};$$

$$\ctg a = \frac{x}{1};$$ $$x=\mathrm{ctg}a$$

Есть прямоугольный треугольник; $a$ — острый угол ($0^\circ<a<90^\circ$), $x$ — искомая сторона. Тригонометрические функции для острых углов положительны и безразмерны. Числа $1,2,3,4$ в условиях — это длины сторон (в тех же единицах, что и $x$).

Полезные определения в прямоугольном треугольнике (для угла $a$):

• $\tg a=\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
• $\ctg a=\dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$.
• $\cos a=\dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.
• $\sin a=\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.

Тождества:

$$1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a},\qquad 1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a},\qquad \sin^2 a+\cos^2 a=1.$$

а) Рисунок 3

Дано: $\displaystyle \tg a=\frac{x}{2}$.

1) Соответствие сторон

По определению $\tg a=\dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$:

• противолежащий катет к углу $a$ — это $x$;
• прилежащий катет — это $2$.

2) Пошаговое решение

$$\tg a=\frac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=2\cdot\tg a.$$

3) Проверка подстановкой

Подставим назад:

$$\frac{x}{2}=\frac{2\,\tg a}{2}=\tg a \quad\checkmark$$

4) Ограничения и поведение

Так как $a\in(0^\circ,90^\circ)$, то $\tg a>0\Rightarrow x>0$.
Пределы: $a\to 0^\circ\Rightarrow \tg a\to 0\Rightarrow x\to 0$;
$a\to 90^\circ\Rightarrow \tg a\to+\infty\Rightarrow x\to+\infty$.
Значит $x\in(0,+\infty)$.

5) Контроль Пифагора (дополнительно)

Гипотенуза:

$$c=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{(2\tg a)^2+4}=2\sqrt{1+\tg^2 a}=2\cdot\frac{1}{|\cos a|}= \frac{2}{\cos a},$$

так как $\cos a>0$ для острых углов. Пифагор: $(2)^2+(2\tg a)^2=4(1+\tg^2 a)=\frac{4}{\cos^2 a}=c^2$ — верно.

6) Быстрый числовой тест

При $a=45^\circ$: $\tg a=1\Rightarrow x=2$. Проверка: $\tg a=\frac{x}{2}=\frac{2}{2}=1$ — сходится.

Ответ (а): $\boxed{x=2\,\tg a}$.

б) Рисунок 4

Дано: $\displaystyle \cos a=\frac{x}{4}$.

1) Соответствие сторон

$\cos a=\dfrac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}$:

• прилежащий катет — $x$;
• гипотенуза — $4$.

2) Пошаговое решение

$$\cos a=\frac{x}{4}\quad\Longrightarrow\quad x=4\cos a.$$

3) Проверка подстановкой

$$\frac{x}{4}=\frac{4\cos a}{4}=\cos a \quad\checkmark$$

4) Ограничения и поведение

Для острых углов $0<\cos a<1\Rightarrow 0<x<4$.
Пределы: $a\to 0^\circ\Rightarrow \cos a\to 1\Rightarrow x\to 4$;
$a\to 90^\circ\Rightarrow \cos a\to 0^+\Rightarrow x\to 0^+$.

5) Контроль Пифагора (дополнительно)

Противолежащий катет:

$$y=\sqrt{4^2-x^2}=\sqrt{16-(4\cos a)^2}=4\sqrt{1-\cos^2 a}=4\sin a.$$

Проверка: $(4\sin a)^2+(4\cos a)^2=16(\sin^2 a+\cos^2 a)=16=4^2$ — верно.

6) Быстрый числовой тест

$a=45^\circ\Rightarrow x=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2\approx2{,}828$.
Проверка: $\frac{x}{4}\approx0{,}7071=\cos45^\circ$ — ок.

Ответ (б): $\boxed{x=4\cos a}$.

в) Рисунок 5

Дано: $\displaystyle \cos a=\frac{3}{x}$.

1) Соответствие сторон

$\cos a=\dfrac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}$:

• прилежащий катет — $3$;
• гипотенуза — $x$.

2) Пошаговое решение

Крест-накрест:

$$x\cos a=3\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3}{\cos a}.$$

3) Проверка подстановкой

$$\frac{3}{x}=\frac{3}{3/\cos a}=\cos a \quad\checkmark$$

4) Ограничения и поведение

Для острых углов $0<\cos a<1\Rightarrow x=\frac{3}{\cos a}>3$.
Пределы: $a\to 0^\circ\Rightarrow x\to 3$;
$a\to 90^\circ\Rightarrow \cos a\to 0^+\Rightarrow x\to +\infty$.
Значит $x\in(3,+\infty)$.

5) Контроль Пифагора (дополнительно)

Противолежащий катет:

$$y=\sqrt{x^2-3^2}=\sqrt{\left(\frac{3}{\cos a}\right)^2-9} =3\sqrt{\frac{1}{\cos^2 a}-1}=3\,\tg a.$$

Проверка: $3^2+(3\tg a)^2=9(1+\tg^2 a)=\dfrac{9}{\cos^2 a}=x^2$ — верно.

6) Быстрый числовой тест

$a=45^\circ\Rightarrow x=\dfrac{3}{\sqrt2/2}=\dfrac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2\approx4{,}243$.
Проверка: $\dfrac{3}{x}\approx0{,}7071=\cos45^\circ$ — ок.

Ответ (в): $\boxed{x=\dfrac{3}{\cos a}}$.

г) Рисунок 6

Дано: $\displaystyle \ctg a=\frac{x}{1}$.

1) Соответствие сторон

$\ctg a=\dfrac{\text{прилежащий}}{\text{противолежащий}}$:

• прилежащий катет — $x$;
• противолежащий катет — $1$.

2) Пошаговое решение

$$\ctg a=\frac{x}{1}\quad\Longrightarrow\quad x=\ctg a.$$

3) Проверка подстановкой

$$\frac{x}{1}=x=\ctg a \quad\checkmark$$

4) Ограничения и поведение

Для острых углов $\ctg a>0\Rightarrow x>0$.
Пределы: $a\to 0^\circ\Rightarrow \ctg a\to+\infty\Rightarrow x\to+\infty$;
$a\to 90^\circ\Rightarrow \ctg a\to 0^+\Rightarrow x\to 0^+$.
Значит $x\in(0,+\infty)$.

5) Контроль Пифагора (дополнительно)

Гипотенуза:

$$c=\sqrt{x^2+1^2}=\sqrt{\ctg^2 a+1}=\frac{1}{\sin a},$$

так как $1+\ctg^2 a=\csc^2 a=\dfrac{1}{\sin^2 a}$. Проверка: $x^2+1=\dfrac{1}{\sin^2 a}=c^2$ — верно.

6) Быстрый числовой тест

$a=45^\circ\Rightarrow \ctg a=1\Rightarrow x=1$. Проверка: $\dfrac{x}{1}=1=\ctg45^\circ$ — ок.

Ответ (г): $\boxed{x=\ctg a}$.