ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите сторону х прямоугольного треугольника, изображённого на данном рисунке:

а) рис. 7;

б) рис. 8;

в) рис. 9;

г) рис. 10.

Найти сторону $x$ прямоугольного треугольника, изображенного на данном рисунке:

а) Рисунок 7:

$$\sin {30}^{\circ }=\frac{2}{x};$$

$$$$$$\frac{1}{2}=\frac{2}{x};$$

$$$$$$x=4;$$

б) Рисунок 8:

$$\sin {45}^{\circ }=\frac{x}{1};$$

$$$$$$x=\frac{\sqrt{2}}{2};$$

в) Рисунок 9:

$$\sin {60}^{\circ }=\frac{2}{x};$$

$$$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{x};$$

$$$$$$x\sqrt{3}=4;$$

$$$$$$x=\frac{4}{\sqrt{3}};$$

г) Рисунок 10:

$$\cos {60}^{\circ }=\frac{x}{2};$$

$$$$$$\frac{1}{2}=\frac{x}{2};$$

$$$$$$x=1$$

Ниже — пошаговые разборы для каждого рисунка. Везде используем определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

$$\sin \alpha =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\cos \alpha =\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\mathrm{.}$$

А также точные значения:

$$\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2},\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

а) Рисунок 7

Дано уравнение:

$$\sin {30}^{\circ }=\frac{2}{x}\mathrm{.}$$

По определению синуса: числитель $2$ — противолежащий катет к углу ${30}^{\circ }$, знаменатель $x$ — гипотенуза.

Подставляем точное значение $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{x}\mathrm{.}$$

Решаем уравнение по шагам (избавляемся от знаменателей):

• умножаем обе части на $x$: ${\displaystyle \frac{x}{2}=2}$;
• умножаем обе части на $2$: $x=4$.

Ответ для (а): $x=4$.

б) Рисунок 8

Дано уравнение:

$$\sin {45}^{\circ }=\frac{x}{1}\mathrm{.}$$

По определению синуса: числитель $x$ — противолежащий катет к углу ${45}^{\circ }$, знаменатель $1$ — гипотенуза (она равна $1$).

Подставляем $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{1}\mathrm{.}$$

Деление на $1$ ничего не меняет, следовательно:

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$

Ответ для (б): $x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

в) Рисунок 9

Дано уравнение:

$$\sin {60}^{\circ }=\frac{2}{x}\mathrm{.}$$

По определению синуса: числитель $2$ — противолежащий катет к ${60}^{\circ }$, знаменатель $x$ — гипотенуза.

Подставляем $\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{x}\mathrm{.}$$

Решаем по шагам:

• умножаем обе части на $x$: ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}x=2}$;
• умножаем обе части на $2$: $\sqrt{3}x=4$;
• делим обе части на $\sqrt{3}$: ${\displaystyle x=\frac{4}{\sqrt{3}}}$.

Ответ для (в): $x={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}$.

г) Рисунок 10

Дано уравнение:

$$\cos {60}^{\circ }=\frac{x}{2}\mathrm{.}$$

По определению косинуса: числитель $x$ — прилежащий катет к углу ${60}^{\circ }$, знаменатель $2$ — гипотенуза.

Подставляем $\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}=\frac{x}{2}\mathrm{.}$$

Умножаем обе части уравнения на $2$, чтобы убрать знаменатели:

$$1=x\mathrm{.}$$

Ответ для (г): $x=1$.

Итоговые значения:

а) $x=4$;

б) $x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$;

в) $x={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}$;

г) $x=1$.