ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике известны длина гипoтeнузы $c$ и острый угол $\alpha$, найти длины его катетов $a$ и $b$, его площадь $S$ и радиус $R$ описанной окружности;

Выведем формулы:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c}=>a=c\cdot \sin \alpha ;$$$$\cos \alpha =\frac{b}{c}=>b=c\cdot \cos \alpha ;$$$$c=2R=>R=\frac{c}{2};$$

а) $c=12$; $\alpha ={60}^{\circ }$;

$$\alpha ={60}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {60}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{6\pi }{18}=\frac{\pi }{3};$$$$a=c\cdot \sin \alpha =12\cdot \sin \frac{\pi }{3}=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3};$$$$b=c\cdot \cos \alpha =12\cdot \cos \frac{\pi }{3}=12\cdot \frac{1}{2}=6;$$$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 6=6\sqrt{3}\cdot 3=18\sqrt{3};$$$$R=\frac{c}{2}=\frac{12}{2}=6;$$

б) $c=6$; $\alpha ={45}^{\circ }$;

$$\alpha ={45}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {45}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{9\pi }{36}=\frac{\pi }{4};$$$$a=c\cdot \sin \alpha =6\cdot \sin \frac{\pi }{4}=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2};$$$$b=c\cdot \cos \alpha =6\cdot \cos \frac{\pi }{4}=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2};$$$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 2=9;$$$$R=\frac{c}{2}=\frac{6}{2}=3;$$

в) $c=4$; $\alpha ={30}^{\circ }$;

$$\alpha ={30}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {30}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{3\pi }{18}=\frac{\pi }{6};$$$$a=c\cdot \sin \alpha =4\cdot \sin \frac{\pi }{6}=4\cdot \frac{1}{2}=2;$$$$b=c\cdot \cos \alpha =4\cdot \cos \frac{\pi }{6}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3};$$$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}=2\sqrt{3};$$$$R=\frac{c}{2}=\frac{4}{2}=2;$$

г) $c=60$; $\alpha ={60}^{\circ }$;

$$\alpha ={60}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {60}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{6\pi }{18}=\frac{\pi }{3};$$$$a=c\cdot \sin \alpha =60\cdot \sin \frac{\pi }{3}=60\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3};$$$$b=c\cdot \cos \alpha =60\cdot \cos \frac{\pi }{3}=60\cdot \frac{1}{2}=30;$$$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 30\sqrt{3}\cdot 30=30\sqrt{3}\cdot 15=450\sqrt{3};$$$$R=\frac{c}{2}=\frac{60}{2}=30$$

Общая схема решения и обоснование формул

Рассматриваем прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ (пусть $\alpha$ лежит напротив катета $a$; тогда соседний к $\alpha$ катет — $b$).

Базовые определения тригонометрии в прямоугольном треугольнике:

• $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}}={\displaystyle \frac{a}{c}}$
• $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}}={\displaystyle \frac{b}{c}}$

Отсюда сразу получаем формулы для катетов:

$$a=c\sin \alpha ,b=c\cos \alpha \mathrm{.}$$

Площадь $S$ треугольника равна половине произведения катетов:

$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(c\sin \alpha )(c\cos \alpha )=\frac{c^2}{2}\sin \alpha \cos \alpha =\frac{c^2}{4}\sin (2\alpha )\mathrm{.}$$

Радиус описанной окружности $R$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза — диаметр описанной окружности (теорема Фалеса), значит:

$$c=2R\Rightarrow R=\frac{c}{2}\mathrm{.}$$

Перевод градусов в радианы (для подстановок в $\sin$ и $\cos$):

$${\alpha }^{\circ }=\alpha \cdot \frac{\pi }{{180}^{\circ }}\text{ рад}\mathrm{.}$$

Далее — подробные расчёты для каждого пункта с точными и проверочными шагами.

а) $c=12$, $\alpha ={60}^{\circ }$

Шаг 1. Перевод в радианы.

$${60}^{\circ }=\frac{\pi }{{180}^{\circ }}\cdot {60}^{\circ }=\frac{60\pi }{180}=\frac{6\pi }{18}=\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Значения тригонометрических функций.
$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$

Шаг 3. Катеты.

$$a=c\sin \alpha =12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3},b=c\cos \alpha =12\cdot \frac{1}{2}=6.$$

Шаг 4. Площадь (два способа).
Через $ab$:

$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot (6\sqrt{3})\cdot 6=\frac{1}{2}\cdot 36\sqrt{3}=18\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Через $\sin 2\alpha$: $2\alpha ={120}^{\circ }$, $\sin {120}^{\circ }=\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$S=\frac{c^2}{4}\sin (2\alpha )=\frac{144}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=36\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Совпадает.

Шаг 5. Радиус описанной окружности.

$$R=\frac{c}{2}=\frac{12}{2}=6.$$

Шаг 6. Проверка по Пифагору.
$(6\sqrt{3}{)}^2+6^2=36\cdot 3+36=108+36=144=c^2\mathrm{.}$ Верно.

б) $c=6$, $\alpha ={45}^{\circ }$

Шаг 1. Перевод в радианы.

$${45}^{\circ }=\frac{\pi }{{180}^{\circ }}\cdot {45}^{\circ }=\frac{45\pi }{180}=\frac{9\pi }{36}=\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Значения тригонометрических функций.
$\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$

Шаг 3. Катеты (равнобедренный прямоугольный треугольник).

$$a=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2},b=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Площадь (два способа).
Через $ab$:

$$S=\frac{1}{2}\cdot (3\sqrt{2})\cdot (3\sqrt{2})=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 2=9.$$

Через $\sin 2\alpha$: $2\alpha ={90}^{\circ }\Rightarrow \sin {90}^{\circ }=1$:

$$S=\frac{c^2}{4}\sin (2\alpha )=\frac{36}{4}\cdot 1=9.$$

Совпадает.

Шаг 5. Радиус описанной окружности.

$$R=\frac{c}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Шаг 6. Проверка по Пифагору.
$(3\sqrt{2}{)}^2+(3\sqrt{2}{)}^2=18+18=36=c^2\mathrm{.}$ Верно.

в) $c=4$, $\alpha ={30}^{\circ }$

Шаг 1. Перевод в радианы.

$${30}^{\circ }=\frac{\pi }{{180}^{\circ }}\cdot {30}^{\circ }=\frac{30\pi }{180}=\frac{3\pi }{18}=\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Значения тригонометрических функций.
$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2},\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$

Шаг 3. Катеты.

$$a=4\cdot \frac{1}{2}=2,b=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Площадь (два способа).
Через $ab$:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (2\sqrt{3})=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Через $\sin 2\alpha$: $2\alpha ={60}^{\circ }\Rightarrow \sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$S=\frac{c^2}{4}\sin (2\alpha )=\frac{16}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Совпадает.

Шаг 5. Радиус описанной окружности.

$$R=\frac{c}{2}=\frac{4}{2}=2.$$

Шаг 6. Проверка по Пифагору.
$2^2+(2\sqrt{3}{)}^2=4+4\cdot 3=4+12=16=c^2\mathrm{.}$ Верно.

г) $c=60$, $\alpha ={60}^{\circ }$

Шаг 1. Перевод в радианы.

$${60}^{\circ }=\frac{\pi }{{180}^{\circ }}\cdot {60}^{\circ }=\frac{60\pi }{180}=\frac{6\pi }{18}=\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Значения тригонометрических функций.
$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$

Шаг 3. Катеты.

$$a=60\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3},b=60\cdot \frac{1}{2}=30.$$

Шаг 4. Площадь (два способа).
Через $ab$:

$$S=\frac{1}{2}\cdot (30\sqrt{3})\cdot 30=\frac{1}{2}\cdot 900\sqrt{3}=450\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Через $\sin 2\alpha$: $2\alpha ={120}^{\circ }\Rightarrow \sin {120}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$S=\frac{c^2}{4}\sin (2\alpha )=\frac{3600}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=900\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=450\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Совпадает.

Шаг 5. Радиус описанной окружности.

$$R=\frac{c}{2}=\frac{60}{2}=30.$$

Шаг 6. Проверка по Пифагору.
$(30\sqrt{3}{)}^2+{30}^2=900\cdot 3+900=2700+900=3600=c^2\mathrm{.}$ Верно.

Итог:

а) $a=6\sqrt{3},b=6,S=18\sqrt{3},R=6.$

б) $a=3\sqrt{2},b=3\sqrt{2},S=9,R=3.$

в) $a=2,b=2\sqrt{3},S=2\sqrt{3},R=2.$

г) $a=30\sqrt{3},b=30,S=450\sqrt{3},R=30.$