ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значения тригонометрических функций для углов:

а) $a = 90^\circ = \frac{\pi \cdot 90^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi}{2};$

$$\sin a = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$ $$\cos a = \cos \frac{\pi}{2} = 0;$$ $$tg \, a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{1}{0} — \text{нет};$$ $$ctg \, a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{0}{1} = 0;$$

б) $a = 180^\circ = \frac{\pi \cdot 180^\circ}{180^\circ} = \pi;$

$$\sin a = \sin \pi = 0;$$ $$\cos a = \cos \pi = -1;$$ $$tg \, a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0}{-1} = 0;$$ $$ctg \, a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{-1}{0} — \text{нет};$$

в) $a = 270^\circ = \frac{\pi \cdot 270^\circ}{180^\circ} = \frac{3\pi}{2};$

$$\sin a = \sin \frac{3\pi}{2} = -1;$$ $$\cos a = \cos \frac{3\pi}{2} = 0;$$ $$tg \, a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-1}{0} — \text{нет};$$ $$ctg \, a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{0}{-1} = 0;$$

г) $a = 360^\circ = \frac{\pi \cdot 360^\circ}{180^\circ} = 2\pi;$

$$\sin a = \sin 2\pi = 0;$$ $$\cos a = \cos 2\pi = 1;$$ $$tg \, a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0}{1} = 0;$$ $$ctg \, a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{1}{0} — \text{нет}$$

Переход градусов в радианы.
Используем тождество $180^\circ \equiv \pi$ рад. Тогда

$$\alpha\;(\text{в радианах})=\frac{\pi\cdot \alpha^\circ}{180^\circ}.$$

Единичная окружность.
Для угла $a$ точка на окружности имеет координаты $(x,y)=(\cos a,\;\sin a)$.
Отсюда сразу:

$$\sin a = y,\qquad \cos a = x,\qquad tg\,a=\frac{\sin a}{\cos a},\qquad ctg\,a=\frac{\cos a}{\sin a}.$$

Где функции не определены.

• $tg\,a$ не определён, когда $\cos a=0$ (деление на ноль).
• $ctg\,a$ не определён, когда $\sin a=0$.

Эти случаи — вертикальные/горизонтальные оси на единичной окружности.

а) $a=90^\circ$

Шаг 1. В радианы:

$$a=\frac{\pi\cdot 90^\circ}{180^\circ}=\frac{\pi}{2}.$$

Шаг 2. Положение на окружности:
Угол $\frac{\pi}{2}$ — это «верхняя» точка оси $Oy$: координаты $(0,1)$.

Шаг 3. Значения синуса и косинуса:

$$\sin a=\sin\frac{\pi}{2}=1,\qquad \cos a=\cos\frac{\pi}{2}=0.$$

Шаг 4. Тангенс и котангенс:

$$tg\,a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{1}{0}\ \Rightarrow\ \text{не существует (деление на 0)};$$ $$ctg\,a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{0}{1}=0.$$

Проверка знаком: в II четверть не заходим — это строго ось $Oy$ сверху, где $y=1$, $x=0$. Всё согласовано.

б) $a=180^\circ$

Шаг 1. В радианы:

$$a=\frac{\pi\cdot 180^\circ}{180^\circ}=\pi.$$

Шаг 2. Положение на окружности:
Угол $\pi$ — «левая» точка оси $Ox$: координаты $(-1,0)$.

Шаг 3. Синус и косинус:

$$\sin a=\sin\pi=0,\qquad \cos a=\cos\pi=-1.$$

Шаг 4. Тангенс и котангенс:

$$tg\,a=\frac{0}{-1}=0;\qquad ctg\,a=\frac{-1}{0}\ \Rightarrow\ \text{не существует}.$$

Комментарий: здесь $\sin a=0$, поэтому именно $ctg$ «ломается», а $tg$ = 0 — нормален.

в) $a=270^\circ$

Шаг 1. В радианы:

$$a=\frac{\pi\cdot 270^\circ}{180^\circ}=\frac{3\pi}{2}.$$

Шаг 2. Положение на окружности:
Угол $\frac{3\pi}{2}$ — «нижняя» точка оси $Oy$: координаты $(0,-1)$.

Шаг 3. Синус и косинус:

$$\sin a=\sin\frac{3\pi}{2}=-1,\qquad \cos a=\cos\frac{3\pi}{2}=0.$$

Шаг 4. Тангенс и котангенс:

$$tg\,a=\frac{-1}{0}\ \Rightarrow\ \text{не существует};$$ $$ctg\,a=\frac{0}{-1}=0.$$

Комментарий по знакам: нижняя точка — $y=-1$, $x=0$. Синус отрицателен, косинус ноль — всё совпадает.

г) $a=360^\circ$

Шаг 1. В радианы:

$$a=\frac{\pi\cdot 360^\circ}{180^\circ}=2\pi.$$

Шаг 2. Положение на окружности:
Полный оборот — снова правая точка оси $Ox$: координаты $(1,0)$.

Шаг 3. Синус и косинус:

$$\sin a=\sin 2\pi=0,\qquad \cos a=\cos 2\pi=1.$$

Шаг 4. Тангенс и котангенс:

$$tg\,a=\frac{0}{1}=0;\qquad ctg\,a=\frac{1}{0}\ \Rightarrow\ \text{не существует}.$$

Итог:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} a & \text{радианы} & \sin a & \cos a & tg\,a & ctg\,a\\\hline 90^\circ & \frac{\pi}{2} & 1 & 0 & \text{нет} & 0\\ 180^\circ & \pi & 0 & -1 & 0 & \text{нет}\\ 270^\circ & \frac{3\pi}{2} & -1 & 0 & \text{нет} & 0\\ 360^\circ & 2\pi & 0 & 1 & 0 & \text{нет} \end{array}$$