ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значения тригонометрических функций для углов:

а) $a = 30^\circ = \frac{\pi \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi}{6};$

$$\sin a = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$$ $$\cos a = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$\ctg a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3};$$

б) $a = 150^\circ = \frac{\pi \cdot 150^\circ}{180^\circ} = \frac{5\pi}{6};$

$$\sin a = \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2};$$ $$\cos a = \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$\ctg a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3};$$

в) $a = 210^\circ = \frac{\pi \cdot 210^\circ}{180^\circ} = \frac{7\pi}{6};$

$$\sin a = \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2};$$ $$\cos a = \cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$\ctg a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3};$$

г) $a = 240^\circ = \frac{\pi \cdot 240^\circ}{180^\circ} = \frac{4\pi}{3};$

$$\sin a = \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos a = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3};$$ $$\ctg a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Возьмём равносторонний треугольник со стороной $2$. Проведём высоту — он распадётся на два прямоугольных $30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ$ треугольника:

• гипотенуза $=2$ (сторона исходного треугольника),
• одна катета (половина основания) $=1$,
• вторая катета (высота) $=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.

Отсюда точные значения:

$$\sin 30^\circ=\frac{1}{2},\quad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad \cot 30^\circ=\sqrt{3},$$ $$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos 60^\circ=\frac{1}{2},\quad \tan 60^\circ=\sqrt{3},\quad \cot 60^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Приведение аргумента и знаки по четвертям

Полезные формулы (на единичной окружности):

$$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha;$$ $$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\quad \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha.$$

Знаки в четвертях (I/II/III/IV): $+\ +\ +$ для $\sin$, $+\ -\ -\ +$ для $\cos$, $+\ -\ +\ —$ для $\tan$ (и $\cot$ такой же, как у $\tan$).

а) $a=30^\circ=\dfrac{\pi\cdot30^\circ}{180^\circ}=\dfrac{\pi}{6}$

• Четверть: I. Все функции положительны.
• Это базовый угол $30^\circ$.

Значения:

$$\sin a=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\qquad \cos a=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ $$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt{3}}2}=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \cot a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}2}{\frac12}=\sqrt{3}.$$

Проверки:

$$\sin^2 a+\cos^2 a=\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1; \quad \tan a\cdot\cot a=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}=1.$$

б) $a=150^\circ=\dfrac{\pi\cdot150^\circ}{180^\circ}=\dfrac{5\pi}{6}$

• Запишем $150^\circ=\;180^\circ-30^\circ=\pi-\frac{\pi}{6}$.
• Четверть: II. $\sin>0$, $\cos<0$, $\tan<0$.

По формулам приведения и базовым $30^\circ$:

$$\sin a=\sin\!\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},$$ $$\cos a=\cos\!\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$ $$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}},$$ $$\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12}=-\sqrt{3}.$$

Проверки знаков: в II четверти $\sin>0$, $\cos<0$ — всё совпало; $\tan<0$, $\cot<0$.

в) $a=210^\circ=\dfrac{\pi\cdot210^\circ}{180^\circ}=\dfrac{7\pi}{6}$

• Запишем $210^\circ=\;180^\circ+30^\circ=\pi+\frac{\pi}{6}$.
• Четверть: III. $\sin<0$, $\cos<0$, $\tan>0$.

По формулам приведения:

$$\sin a=\sin\!\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2},$$ $$\cos a=\cos\!\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$ $$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{-\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}},$$ $$\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{-\frac12}=\sqrt{3}.$$

Проверки: знаки в III четверти — $\sin,\cos<0$, $\tan,\cot>0$. Сошлось.

г) $a=240^\circ=\dfrac{\pi\cdot240^\circ}{180^\circ}=\dfrac{4\pi}{3}$

• Представим $240^\circ=\;180^\circ+60^\circ=\pi+\frac{\pi}{3}$.
• Четверть: III. $\sin<0$, $\cos<0$, $\tan>0$.

Используем базовые $60^\circ$:

$$\sin a=\sin\!\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$ $$\cos a=\cos\!\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2},$$ $$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{-\frac12}=\sqrt{3},$$ $$\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{-\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Проверки: $\sin^2 a+\cos^2 a=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$; в III четверти $\tan>0$, $\cot>0$ — верно.

Итог:

а) $30^\circ$: $\sin=\frac12$, $\cos=\frac{\sqrt3}{2}$, $\tan=\frac{1}{\sqrt3}$, $\cot=\sqrt3$.

б) $150^\circ$: $\sin=\frac12$, $\cos=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\tan=-\frac{1}{\sqrt3}$, $\cot=-\sqrt3$.

в) $210^\circ$: $\sin=-\frac12$, $\cos=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\tan=\frac{1}{\sqrt3}$, $\cot=\sqrt3$.

г) $240^\circ$: $\sin=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos=-\frac12$, $\tan=\sqrt3$, $\cot=\frac{1}{\sqrt3}$.