ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположите в порядке возрастания числа:

$$\sin {40}^{\circ };\sin {80}^{\circ };\sin {120}^{\circ };\sin {160}^{\circ }$$

Расположить числа в порядке возрастания:

$$\sin {40}^{\circ };\sin {80}^{\circ };\sin {120}^{\circ };\sin {160}^{\circ };$$

Все числа лежат в I и II четвертях:

$$\sin {40}^{\circ }=\sin \frac{\pi \cdot {40}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\sin \frac{2\pi }{9};$$$$\sin {80}^{\circ }=\sin \frac{\pi \cdot {80}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\sin \frac{4\pi }{9};$$$$\sin {120}^{\circ }=\sin \frac{\pi \cdot {120}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\sin \frac{6\pi }{9};$$$$\sin {160}^{\circ }=\sin \frac{\pi \cdot {160}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\sin \frac{8\pi }{9};$$$$\sin t>0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_1=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{9}\mid =\mid \frac{9\pi }{18}-\frac{4\pi }{18}\mid =\frac{5\pi }{18};$$$$y_2=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{4\pi }{9}\mid =\mid \frac{9\pi }{18}-\frac{8\pi }{18}\mid =\frac{\pi }{18};$$$$y_3=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{6\pi }{9}\mid =\mid \frac{9\pi }{18}-\frac{12\pi }{18}\mid =\frac{3\pi }{18};$$$$y_4=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{8\pi }{9}\mid =\mid \frac{9\pi }{18}-\frac{16\pi }{18}\mid =\frac{7\pi }{18};$$

Ответ: $\sin {160}^{\circ };\sin {40}^{\circ };\sin {120}^{\circ };\sin {80}^{\circ }\mathrm{.}$

Расположить по возрастанию значения:

$$\sin {40}^{\circ },\sin {80}^{\circ },\sin {120}^{\circ },\sin {160}^{\circ }\mathrm{.}$$

Ключевые факты о синусе на $[0^{\circ },{180}^{\circ }]$

1. $\sin \alpha >0$ для всех $\alpha \in (0^{\circ },{180}^{\circ })$.
2. $\sin$ строго возрастает на $[0^{\circ },{90}^{\circ }]$ и строго убывает на $[{90}^{\circ },{180}^{\circ }]$.
   (Эквивалентно: максимум $1$ достигается ровно при ${90}^{\circ }$; чем ближе угол к ${90}^{\circ }$, тем больше синус.)
3. Симметрия: $\sin ({180}^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$.

Метод 1 (самый короткий): сводим всё к углам $<{90}^{\circ }$

Используем $\sin ({180}^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$:

$$\sin {120}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })=\sin {60}^{\circ },\sin {160}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{20}^{\circ })=\sin {20}^{\circ }\mathrm{.}$$

Тогда сравнивать нужно четыре значения на $(0^{\circ },{90}^{\circ })$:

$$\sin {20}^{\circ },\sin {40}^{\circ },\sin {60}^{\circ },\sin {80}^{\circ }\mathrm{.}$$

На $[0^{\circ },{90}^{\circ }]$ синус строго возрастает, значит при увеличении угла значение растёт:

$$\sin {20}^{\circ }<\sin {40}^{\circ }<\sin {60}^{\circ }<\sin {80}^{\circ }\mathrm{.}$$

Возвращаясь к исходным обозначениям:

$$\boxed{{\displaystyle \sin {160}^{\circ }<\sin {40}^{\circ }<\sin {120}^{\circ }<\sin {80}^{\circ }}}\mathrm{.}$$

Метод 2 (через «расстояние» до максимума ${90}^{\circ }$)

Переведём градусы в радианы (не обязательно, но наглядно) и посчитаем расстояния до $\frac{\pi }{2}$:

$${40}^{\circ }=\frac{2\pi }{9},{80}^{\circ }=\frac{4\pi }{9},{120}^{\circ }=\frac{6\pi }{9},{160}^{\circ }=\frac{8\pi }{9}\mathrm{.}$$

Максимум синуса — в точке $t=\frac{\pi }{2}$. Рассчитываем $\mathrm{\mid }t-\frac{\pi }{2}\mathrm{\mid }$:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y_1}& {\displaystyle =\mid \frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{9}\mid =\mid \frac{9\pi }{18}-\frac{4\pi }{18}\mid =\frac{5\pi }{18},}\\ {\displaystyle y_2}& {\displaystyle =\mid \frac{\pi }{2}-\frac{4\pi }{9}\mid =\mid \frac{9\pi }{18}-\frac{8\pi }{18}\mid =\frac{\pi }{18},}\\ {\displaystyle y_3}& {\displaystyle =\mid \frac{\pi }{2}-\frac{6\pi }{9}\mid =\mid \frac{9\pi }{18}-\frac{12\pi }{18}\mid =\frac{3\pi }{18},}\\ {\displaystyle y_4}& {\displaystyle =\mid \frac{\pi }{2}-\frac{8\pi }{9}\mid =\mid \frac{9\pi }{18}-\frac{16\pi }{18}\mid =\frac{7\pi }{18}\mathrm{.}}\end{array}$$

Чем меньше расстояние до $\frac{\pi }{2}$, тем больше синус. Сравнивая:

$$y_2<y_3<y_1<y_4⟹\sin {80}^{\circ }>\sin {120}^{\circ }>\sin {40}^{\circ }>\sin {160}^{\circ },$$

то есть тот же итоговый порядок:

$$\boxed{{\displaystyle \sin {160}^{\circ }<\sin {40}^{\circ }<\sin {120}^{\circ }<\sin {80}^{\circ }}}\mathrm{.}$$

Короткая численная проверка 

$$\sin {160}^{\circ }=\sin {20}^{\circ }\approx 0.342,\sin {40}^{\circ }\approx 0.643,$$

$$\sin {120}^{\circ }=\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866,\sin {80}^{\circ }\approx 0.985,$$

что подтверждает порядок возрастания:

$$\sin {160}^{\circ }<\sin {40}^{\circ }<\sin {120}^{\circ }<\sin {80}^{\circ }\mathrm{.}$$

Ответ

$$\boxed{{\displaystyle \sin {160}^{\circ };\sin {40}^{\circ };\sin {120}^{\circ };\sin {80}^{\circ }\mathrm{.}}}$$