ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположите в порядке возрастания числа: cos 40°; cos 80°; cos 120°; cos 160°.

Расположить числа в порядке возрастания:

cos 40°; cos 80°; cos 120°; cos 160°;

Первая пара чисел лежит в I четверти:

$$\cos 40^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 40^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{2\pi}{9};$$ $$\cos 80^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 80^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{4\pi}{9};$$ $$\cos t > 0;$$

Вторая пара чисел лежит во II четверти:

$$\cos 120^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{6\pi}{9};$$ $$\cos 160^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 160^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{8\pi}{9};$$ $$\cos t < 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$x_1 = \left| 0 — \frac{2\pi}{9} \right| = \frac{2\pi}{9};$$ $$x_2 = \left| 0 — \frac{4\pi}{9} \right| = \frac{4\pi}{9};$$ $$x_3 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{6\pi}{9} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{12\pi}{18} \right| = \frac{3\pi}{18};$$ $$x_4 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{8\pi}{9} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{16\pi}{18} \right| = \frac{7\pi}{18};$$

Ответ: cos 160°; cos 120°; cos 80°; cos 40°.

1) Кварталы и знаки

• $40^\circ,\ 80^\circ \in (0^\circ,90^\circ)$ — I четверть ⇒ $\cos40^\circ>0,\ \cos80^\circ>0$.
• $120^\circ,\ 160^\circ \in (90^\circ,180^\circ)$ — II четверть ⇒ $\cos120^\circ<0,\ \cos160^\circ<0$.

Следовательно, любые значения $\cos$ из II четверти меньше любых значений из I четверти:

$$\cos160^\circ,\ \cos120^\circ \;<\; \cos80^\circ,\ \cos40^\circ.$$

Остаётся упорядочить внутри каждой пары.

2) Сравнение внутри отрицательной пары $\cos160^\circ$ и $\cos120^\circ$

Используем тождество $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$:

$$\cos160^\circ=-\cos20^\circ,\qquad \cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\tfrac12.$$

Так как на $[0^\circ,180^\circ]$ функция $\cos$ строго убывает (см. п. 4), то

$$20^\circ<60^\circ \ \Rightarrow\ \cos20^\circ>\cos60^\circ=\tfrac12.$$

Умножая на $-1$ (знак меняется!):

$$-\cos20^\circ<-\tfrac12 \ \Rightarrow\ \boxed{\ \cos160^\circ<\cos120^\circ\ }.$$

3) Сравнение внутри положительной пары $\cos40^\circ$ и $\cos80^\circ$

Опять же из убывания $\cos x$ на $[0^\circ,180^\circ]$:

$$40^\circ<80^\circ \ \Rightarrow\ \boxed{\ \cos40^\circ>\cos80^\circ\ }.$$

4) Почему $\cos x$ убывает на $[0,\pi]$ (строгое обоснование)

Производная: $\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x$.
На отрезке $[0,\pi]$ имеем $\sin x\ge 0$, причём $\sin x>0$ при $x\in(0,\pi)$.
Значит $-\sin x\le 0$ и строго $<0$ на $(0,\pi)$ ⇒ $\cos x$ строго убывает на $[0,\pi]$.

5) Собираем общий порядок

• Сначала идут отрицательные значения: $\cos160^\circ<\cos120^\circ$.
• Затем положительные: $\cos80^\circ<\cos40^\circ$.
• Любое отрицательное $<$ любого положительного.

Итого, в порядке возрастания:

$$\boxed{\ \cos160^\circ\;<\;\cos120^\circ\;<\;\cos80^\circ\;<\;\cos40^\circ\ }.$$

6) Быстрая альтернативная логика 

На $[0^\circ,180^\circ]$ $\cos$ строго убывает, значит чем больше угол, тем меньше значение косинуса.
Углы по убыванию: $160^\circ>120^\circ>80^\circ>40^\circ$ ⇒ значения по возрастанию:

$$\cos160^\circ<\cos120^\circ<\cos80^\circ<\cos40^\circ.$$

7) Числовая проверка

$$\cos {40}^{\circ }\approx 0.7660,\cos {80}^{\circ }\approx 0.1736,$$

$$\cos40^\circ\approx0.7660,\quad \cos80^\circ\approx0.1736,\quad \cos120^\circ=-0.5,\quad \cos160^\circ\approx-0.9397,$$

что точно подтверждает найденный порядок.

Ответ: $\boxed{\cos160^\circ;\ \cos120^\circ;\ \cos80^\circ;\ \cos40^\circ}$.