ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а)

$$\frac{\cos (\pi — t) + \cos \left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\sin (2\pi — t) — \sin \left( \frac{3\pi}{2} — t \right)} = \frac{-\cos t + \sin t}{-\sin t — (-\cos t)} = \frac{\sin t — \cos t}{\cos t — \sin t} = -1;$$

Ответ: $-1$.

б)

$$\frac{\sin^2 (\pi — t) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\sin (\pi — t)} \cdot \operatorname{tg}(\pi — t) = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t} \cdot (-\operatorname{tg} t) =$$ $$= \frac{1}{\sin t} \cdot \left( -\frac{\sin t}{\cos t} \right) = -\frac{1}{\cos t};$$

Ответ: $-\frac{1}{\cos t}$.

а)

$$\frac{\cos (\pi — t) + \cos \!\left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\sin (2\pi — t) — \sin \!\left( \frac{3\pi}{2} — t \right)}$$

Шаг 1. Преобразуем числитель по формулам приведения

Используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.

• $\cos(\pi-t)=\cos\pi\cos t+\sin\pi\sin t=(-1)\cos t+0\cdot\sin t=-\cos t$.
• $\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=\cos\tfrac{\pi}{2}\cos t+\sin\tfrac{\pi}{2}\sin t=0\cdot\cos t+1\cdot\sin t=\sin t$.

Итак, числитель:

$$\cos(\pi-t)+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=(-\cos t)+(\sin t)=\sin t-\cos t.$$

Шаг 2. Преобразуем знаменатель по формулам приведения

Используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$.

• $\sin(2\pi-t)=\sin 2\pi\cos t-\cos 2\pi\sin t=0\cdot\cos t-1\cdot\sin t=-\sin t$.
• $\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}-t\right)=\sin\tfrac{3\pi}{2}\cos t-\cos\tfrac{3\pi}{2}\sin t=(-1)\cos t-0\cdot\sin t=-\cos t$.

Тогда знаменатель:

$$\sin(2\pi-t)-\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}-t\right)=(-\sin t)-(-\cos t)=\cos t-\sin t.$$

Шаг 3. Сокращаем дробь

$$\frac{\sin t-\cos t}{\cos t-\sin t}=\frac{-(\cos t-\sin t)}{\;\cos t-\sin t}=-1,$$

при условии, что $\cos t-\sin t\neq 0$.

ОДЗ и итог

• Исходный знаменатель $\sin(2\pi-t)-\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}-t\right)=\cos t-\sin t$ не должен быть нулём.
• $\cos t-\sin t=0 \iff \tan t=1 \iff t=\tfrac{\pi}{4}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}$.

Следовательно, при $t\neq \tfrac{\pi}{4}+k\pi$ имеем

$$\boxed{-1}.$$

б)

$$\frac{\sin^2 (\pi — t) + \sin^2 \!\left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\sin (\pi — t)} \cdot \operatorname{tg}(\pi — t)$$

Шаг 1. Преобразуем каждую функцию

По формулам приведения:

• $\sin(\pi-t)=\sin t$ (так как $\sin(\pi-x)=\sin x$).
• $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=\cos t$ (кофункциональная формула).
• $\operatorname{tg}(\pi-t)=-\operatorname{tg} t$ (так как $\tan(\pi-x)=-\tan x$).

Тогда

$$\sin^2(\pi-t)=\sin^2 t,\qquad \sin^2\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=\cos^2 t.$$

Шаг 2. Используем основное тождество $\sin^2 t+\cos^2 t=1$

Числитель превращается в $1$, а знаменатель — в $\sin(\pi-t)=\sin t$:

$$\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin t}\cdot\big(-\operatorname{tg} t\big)=\frac{1}{\sin t}\cdot\big(-\operatorname{tg} t\big).$$

Шаг 3. Записываем $\operatorname{tg} t=\dfrac{\sin t}{\cos t}$ и сокращаем

$$\frac{1}{\sin t}\cdot\left(-\frac{\sin t}{\cos t}\right)=-\frac{1}{\cos t}.$$

ОДЗ и итог

Исходное выражение требует:

• $\sin(\pi-t)\neq 0 \;\Rightarrow\; \sin t\neq 0 \;\Rightarrow\; t\neq k\pi$.
• $\operatorname{tg}(\pi-t)$ определена $\;\Rightarrow\; \cos(\pi-t)\neq 0 \;\Rightarrow\; \cos t\neq 0 \;\Rightarrow\; t\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi$.

Совместно: $t\neq \dfrac{k\pi}{2},\; k\in\mathbb{Z}$.

При этих $t$ получаем

$$\boxed{-\dfrac{1}{\cos t}}.$$

Ответы:

а) $-1$ (при $t\neq \tfrac{\pi}{4}+k\pi$);
б) $-\dfrac{1}{\cos t}$ (при $t\neq \dfrac{k\pi}{2}$).