ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а)

$$\frac{\operatorname{tg}(\pi — t)}{\cos (\pi + t)} \cdot \frac{\sin \left( \frac{3 \pi}{2} + t \right)}{\operatorname{tg} \left( \frac{3 \pi}{2} + t \right)} = \operatorname{tg}^2 t;$$ $$\frac{-\operatorname{tg} t}{-\cos t} \cdot \frac{-\cos t}{-\operatorname{ctg} t} = \operatorname{tg}^2 t;$$ $$\frac{\operatorname{tg} t}{\operatorname{ctg} t} = \operatorname{tg}^2 t;$$ $$\operatorname{tg} t : \frac{1}{\operatorname{tg} t} = \operatorname{tg}^2 t;$$ $$\operatorname{tg}^2 t = \operatorname{tg}^2 t;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\sin (\pi — t)}{\operatorname{tg} (\pi + t)} \cdot \frac{\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} + t \right)} \cdot \frac{\cos (2 \pi — t)}{\sin (-t)} = \sin t;$$ $$\frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} \cdot \frac{\operatorname{tg} t}{-\operatorname{ctg} t} \cdot \frac{\cos t}{-\sin t} = \sin t;$$ $$\frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} = \sin t;$$ $$\cos t : \frac{\cos t}{\sin t} = \sin t;$$ $$\sin t = \sin t;$$

Тождество доказано.

1) Вспомогательные формулы

Для любых допустимых $t$ (там, где выражения определены) используем стандартные тождества:

• Чётность/периодичность:

  $$\sin(\pi — t)=\sin t,\quad \cos(\pi+t)=-\cos t,\quad \tan(\pi+t)=\tan t.$$

• Дополнительные углы (сдвиг на $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$):

  $$\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)=-\cos t,\qquad \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)=\sin t,$$ $$\tan\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=-\cot t,\qquad \tan\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)=-\cot t.$$

• Связь $\tan$ и $\cot$:

  $$\tan t=\frac{\sin t}{\cos t},\qquad \cot t=\frac{\cos t}{\sin t},\qquad \frac{\tan t}{\cot t}=\tan^2 t=\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}.$$

Краткие обоснования (по окружности единичного радиуса/по формулам сложения):
сдвиг на $\pi$ меняет знак косинуса и сохраняет знак тангенса; сдвиг на $\frac{\pi}{2}$ меняет синус на косинус (и наоборот) с учётом знаков; тангенс — $\pi$-периодичен, котангенс — тоже.

2) Область определения

Во всех выражениях встречаются деления на $\cos$, $\sin$, $\tan$, $\cot$. Чтобы не было деления на ноль, нужны одновременно

$$\sin t\neq 0 \quad\text{и}\quad \cos t\neq 0,$$

то есть

$$t\neq \frac{\pi}{2}k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

(Именно в этих точках хотя бы одна из $\tan t$ или $\cot t$ не определена, либо какой-то знаменатель обнуляется.) Далее считаем $t$ лежащим в этой области — там, где обе стороны тождеств определены.

а)

Доказать:

$$\frac{\operatorname{tg}(\pi — t)}{\cos (\pi + t)} \cdot \frac{\sin \!\left( \frac{3 \pi}{2} + t \right)}{\operatorname{tg} \!\left( \frac{3 \pi}{2} + t \right)} = \operatorname{tg}^2 t.$$

Шаг 1. Нормализуем сдвиги углов

Подставляем из п.1:

$$\operatorname{tg}(\pi-t)=-\operatorname{tg}t,\quad \cos(\pi+t)=-\cos t,$$ $$\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)=-\cos t,\quad \operatorname{tg}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)=-\operatorname{ctg}t.$$

Тогда левая часть (ЛЧ) равна

$$\mathrm{ЛЧ}= \frac{-\operatorname{tg}t}{-\cos t}\cdot \frac{-\cos t}{-\operatorname{ctg}t}.$$

Шаг 2. Сокращаем и группируем знаки

Две пары минусов в числителях/знаменателях сокращаются:

$$\mathrm{ЛЧ}= \frac{\operatorname{tg}t}{\cos t}\cdot \frac{\cos t}{\operatorname{ctg}t}.$$

Сразу видно сокращение $\cos t$:

$$\mathrm{ЛЧ}= \frac{\operatorname{tg}t}{\operatorname{ctg}t}.$$

Шаг 3. Переход к $\sin$ и $\cos$ (или к взаимности $\cot$)

1-й способ:

$$\frac{\operatorname{tg}t}{\operatorname{ctg}t} =\frac{\dfrac{\sin t}{\cos t}}{\dfrac{\cos t}{\sin t}} =\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} =\operatorname{tg}^2 t.$$

2-й способ (короткий): $\operatorname{ctg}t=\dfrac{1}{\operatorname{tg}t}$ (когда обе определены), поэтому

$$\frac{\operatorname{tg}t}{\operatorname{ctg}t} =\operatorname{tg}t\cdot\operatorname{tg}t =\operatorname{tg}^2 t.$$

Итак, $\mathrm{ЛЧ}=\operatorname{tg}^2 t$, что совпадает с правой частью (ПЧ). Тождество доказано.

б)

Доказать:

$$\frac{\sin (\pi — t)}{\operatorname{tg} (\pi + t)} \cdot \frac{\operatorname{ctg} \!\left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\operatorname{tg} \!\left( \frac{\pi}{2} + t \right)} \cdot \frac{\cos (2 \pi — t)}{\sin (-t)} = \sin t.$$

Шаг 1. Нормализуем сдвиги углов

Подставляем из п.1:

$$\sin(\pi-t)=\sin t,\quad \operatorname{tg}(\pi+t)=\operatorname{tg}t,$$ $$\operatorname{ctg}\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=\operatorname{tg}t,\quad \operatorname{tg}\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=-\operatorname{ctg}t,$$ $$\cos(2\pi-t)=\cos t,\quad \sin(-t)=-\sin t.$$

Тогда левая часть равна

$$\mathrm{ЛЧ}= \frac{\sin t}{\operatorname{tg}t}\cdot \frac{\operatorname{tg}t}{-\operatorname{ctg}t}\cdot \frac{\cos t}{-\sin t}.$$

Шаг 2. Разберём знаки и упростим дроби

Две «минус»-скобки дают «плюс»:

$$\mathrm{ЛЧ}= \left(\frac{\sin t}{\operatorname{tg}t}\right)\cdot \left(\frac{\operatorname{tg}t}{\operatorname{ctg}t}\right)\cdot \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right).$$

Шаг 3. Последовательные сокращения

• В первом множителе $\displaystyle \frac{\sin t}{\operatorname{tg}t} =\frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}}=\cos t$ (так как $\sin t\neq 0$ в области определения).
• Третий множитель $\displaystyle \frac{\cos t}{\sin t}=\operatorname{ctg}t$.
  Поэтому

$$\mathrm{ЛЧ}= \cos t\cdot \left(\frac{\operatorname{tg}t}{\operatorname{ctg}t}\right)\cdot \operatorname{ctg}t =\cos t\cdot \operatorname{tg}t =\cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t} =\sin t.$$

(Альтернативно, можно сначала перемножить первый и второй множители:
$\displaystyle \frac{\sin t}{\operatorname{tg}t}\cdot \frac{\operatorname{tg}t}{\operatorname{ctg}t} =\frac{\sin t}{\operatorname{ctg}t} =\frac{\sin t}{\frac{\cos t}{\sin t}} =\frac{\sin^2 t}{\cos t}$,
а затем умножить на $\frac{\cos t}{\sin t}$ и получить $\sin t$.)

Получили $\mathrm{ЛЧ}=\sin t=\mathrm{ПЧ}$. Тождество доказано.