ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $5 \sin \left( \frac{\pi}{2} + t \right) — \sin \left( \frac{3\pi}{2} + t \right) — 8 \cos (2\pi — t) = 1;$

$5 \cos t — (-\cos t) — 8 \cos t = 1;$

$-2 \cos t = 1;$

$\cos t = -\frac{1}{2};$

$t_1 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \quad t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $\sin (2\pi + t) — \cos \left( \frac{\pi}{2} — t \right) + \sin (\pi — t) = 1;$

$\sin t — \sin t + \sin t = 1;$

$\sin t = 1;$

$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

а)

Решить:

$$5 \sin \!\Big(\tfrac{\pi}{2}+t\Big)-\sin \!\Big(\tfrac{3\pi}{2}+t\Big)-8\cos(2\pi-t)=1.$$

Шаг 1. Применяем тождество для сдвига аргумента у $\sin$

Используем:

• $\displaystyle \sin\!\Big(\tfrac{\pi}{2}+x\Big)=\cos x$ (кофункциональная формула);
• $\displaystyle \sin\!\Big(\tfrac{3\pi}{2}+x\Big)=-\cos x$.
  Обоснование: $\tfrac{3\pi}{2}=\pi+\tfrac{\pi}{2}$, а $\sin(u+\pi)=-\sin u$. Тогда
  $\sin\!\big(x+\tfrac{3\pi}{2}\big)=\sin\!\big((x+\tfrac{\pi}{2})+\pi\big)=-\sin\!\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big)=-\cos x$.

Подставляем:

$$5\cos t -\big(-\cos t\big) -8\cos(2\pi-t)=1.$$

Шаг 2. Преобразуем $\cos(2\pi-t)$

Используем периодичность и чётность косинуса:

$$\cos(2\pi — t)=\cos(-t+2\pi)=\cos(-t)=\cos t.$$

(у $\cos$ период $2\pi$ и $\cos(-x)=\cos x$).

Получаем:

$$5\cos t + \cos t — 8\cos t = 1.$$

Шаг 3. Приводим подобные

$$(5+1-8)\cos t = -2\cos t = 1.$$

Шаг 4. Решаем простое триг. уравнение

$$\cos t = -\tfrac{1}{2}.$$

Общее решение для $\cos t = a$ задаётся формулой

$$t=\pm\arccos(a)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Здесь $\arccos\!\big(-\tfrac12\big)=\tfrac{2\pi}{3}$. Следовательно,

$$t=\pm \tfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

(Эквивалентная запись: $t=\tfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ или $t=\tfrac{4\pi}{3}+2\pi n$; второе равно $-\tfrac{2\pi}{3}+2\pi(n+1)$.)

Шаг 5. Проверка

Подставим $\cos t=-\tfrac12$ в промежуточную форму $-2\cos t=1$:
$-2\cdot(-\tfrac12)=1$ — верно. Значит, решения корректны.

Ответ (а): $\displaystyle t=\pm \tfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$

б)

Решить:

$$\sin(2\pi+t)-\cos\!\Big(\tfrac{\pi}{2}-t\Big)+\sin(\pi — t)=1.$$

Шаг 1. Применяем периодичность и кофункции

Используем:

• $\sin(2\pi+t)=\sin t$ (период $2\pi$);
• $\cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}-t\big)=\sin t$ (кофункциональная формула $\cos(\tfrac{\pi}{2}-x)=\sin x$);
• $\sin(\pi — t)=\sin t$ (симметрия синуса: $\sin(\pi-x)=\sin x$).

Подставляем:

$$\sin t — \sin t + \sin t = 1.$$

Левая часть упрощается до $\sin t$, получаем

$$\sin t = 1.$$

Шаг 2. Решение $\sin t = 1$

Синус равен 1 в точках

$$t=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Шаг 3. Проверка

Подставим $t=\tfrac{\pi}{2}$:
$\sin(2\pi+\tfrac{\pi}{2})=1$, $\cos(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2})=\cos 0=1$, $\sin(\pi-\tfrac{\pi}{2})=1$.
Левая часть: $1-1+1=1$. Истинно. Периодичность сохраняет равенство для всех $2\pi n$.

Ответ (б): $\displaystyle t=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$