ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin^2 (\pi + t) + \cos^2 (2\pi — t) = 0$;

б) $\sin^2 (\pi — t) + \cos^2 (2\pi + t) = 1$

Решить уравнение:

а) $\sin^2 (\pi + t) + \cos^2 (2\pi — t) = 0$;

$$(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 = 0;$$ $$\sin^2 t + \cos^2 t = 0;$$ $$1 = 0;$$

Ответ: корней нет.

б) $\sin^2 (\pi — t) + \cos^2 (2\pi + t) = 1$;

$$(\sin t)^2 + (\cos t)^2 = 1;$$ $$\sin^2 t + \cos^2 t = 1;$$ $$1 = 1;$$

Ответ: любое число.

Формулы сложения:

$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.$$

Значения тригонометрических функций в $\pi$ и $2\pi$:

$$\sin\pi=0,\ \cos\pi=-1,\qquad \sin(2\pi)=0,\ \cos(2\pi)=1.$$

Отсюда получаем стандартные преобразования углов:

$$\sin(\pi+t)=\sin\pi\cos t+\cos\pi\sin t=0\cdot\cos t+(-1)\cdot\sin t=-\sin t,$$ $$\sin(\pi-t)=\sin\pi\cos t-\cos\pi\sin t=0\cdot\cos t-(-1)\cdot\sin t=\sin t,$$ $$\cos(2\pi\pm t)=\cos(2\pi)\cos t\mp \sin(2\pi)\sin t=1\cdot\cos t\mp 0\cdot\sin t=\cos t.$$

И фундаментальное тождество (теорема Пифагора на единичной окружности):

$$\sin^2 t+\cos^2 t=1\quad\text{для всех }t\in\mathbb{R}.$$

а) $\sin^2(\pi+t)+\cos^2(2\pi-t)=0$

Шаг 1. Применим преобразования углов:

$${\sin }^2(\pi +t)=(-\sin t{)}^2={\sin }^{2}t,$$

$$\sin^2(\pi+t)=(-\sin t)^2=\sin^2 t,\qquad \cos^2(2\pi-t)=(\cos t)^2=\cos^2 t.$$

Шаг 2. Подставим:

$$\sin^2(\pi+t)+\cos^2(2\pi-t)=\sin^2 t+\cos^2 t.$$

Значит исходное уравнение эквивалентно

$$\sin^2 t+\cos^2 t=0.$$

Шаг 3. Используем тождество:

$$\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

Следовательно, уравнение превращается в

$$1=0,$$

что невозможно.

Альтернативная проверка (через неотрицательность): $\sin^2 t\ge 0$ и $\cos^2 t\ge 0$ для любых $t$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только если каждое из них равно нулю. Это потребовало бы одновременно $\sin t=0$ и $\cos t=0$, но такого $t$ не существует:

• $\sin t=0 \iff t=k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$), а там $\cos t=\pm 1\ne 0$;
• $\cos t=0 \iff t=\frac{\pi}{2}+k\pi$, а там $\sin t=\pm 1\ne 0$.

Вывод: решений нет.
Ответ: $S_a=\varnothing$.

б) $\sin^2(\pi-t)+\cos^2(2\pi+t)=1$

Шаг 1. Снова преобразуем углы:

$${\sin }^2(\pi -t)=(\sin t{)}^2={\sin }^{2}t,$$

$$\sin^2(\pi-t)=(\sin t)^2=\sin^2 t,\qquad \cos^2(2\pi+t)=(\cos t)^2=\cos^2 t.$$

Шаг 2. Подставляем:

$$\sin^2(\pi-t)+\cos^2(2\pi+t)=\sin^2 t+\cos^2 t.$$

Тогда исходное уравнение эквивалентно

$$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$

а это верно для всех $t\in\mathbb{R}$ по фундаментальному тождеству.

Вывод: уравнение тождественно верно.
Ответ: $S_b=\mathbb{R}$ (любое действительное $t$).