ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

a) $\sin (\pi — t) = \sin t$;

б) $\cos \left( \frac{\pi}{2} + t \right) = -\sin t$;

в) $\cos (2\pi + t) = \cos t$;

г) $\sin (\frac{3\pi }{2}-t)=-\cos t$

Базовые факты (будем использовать)

• $\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$.
• $\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B$.
• Специальные значения:
  $\sin\pi=0,\quad \cos\pi=-1;\qquad \sin\frac\pi2=1,\quad \cos\frac\pi2=0;$
  $\sin2\pi=0,\quad \cos2\pi=1;\qquad \sin\frac{3\pi}{2}=-1,\quad \cos\frac{3\pi}{2}=0.$
• Периодичность: $\sin(x+2\pi k)=\sin x,\quad \cos(x+2\pi k)=\cos x$ для любого $k\in\mathbb{Z}$.

a) $\sin(\pi — t)=\sin t$

Алгебраическое доказательство (через формулы):

$$\sin(\pi — t)=\sin\pi\cos t-\cos\pi\sin t =0\cdot \cos t-(-1)\sin t=\sin t.$$

Готово.

Геометрическая интерпретация (единичная окружность):
Угол $\pi-t$ — это “отражение” угла $t$ относительно оси $Oy$ (точка поворачивается на $\pi$ и возвращается на $t$). Координата $y$ точки (то есть $\sin$) при таком отражении сохраняется, поэтому $\sin(\pi-t)=\sin t$. Знак тоже совпадает: $\pi-t$ лежит во II четверти, где синус положителен, а $\sin t$ во I четверти (для малых $t$) тоже положителен; при любых $t$ равенство идёт через точные формулы выше.

б) $\cos\!\left(\frac\pi2+t\right)=-\sin t$

Алгебраическое доказательство:

$$\cos\!\left(\frac\pi2+t\right)=\cos\frac\pi2\cos t-\sin\frac\pi2\sin t =0\cdot\cos t-1\cdot\sin t=-\sin t.$$

Геометрическая интерпретация:
Добавление $\frac\pi2$ к углу $t$ — это поворот на $90^\circ$ против часовой. Координаты $(\cos t,\sin t)$ переходят в $(-\sin t,\cos t)$. Первая координата новой точки и есть $\cos(\frac\pi2+t)$, то есть $-\sin t$.

Замечание-памятка (знаки у $\frac\pi2\pm t$):
$\cos\!\left(\frac\pi2-t\right)=\sin t,\quad \cos\!\left(\frac\pi2+t\right)=-\sin t.$
Минус появляется именно при «плюсе» внутри.

в) $\cos(2\pi+t)=\cos t$

Алгебраическое доказательство:

$$\cos(2\pi+t)=\cos2\pi\cos t-\sin2\pi\sin t =1\cdot \cos t-0\cdot \sin t=\cos t.$$

Геометрическая интерпретация:
Добавление $2\pi$ — полный оборот по окружности; точка возвращается в то же место. Поэтому и косинус, и синус не меняются: $\cos(2\pi+t)=\cos t$, $\sin(2\pi+t)=\sin t$.

г) $\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)=-\cos t$

Алгебраическое доказательство:

$$\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}-t\right) =\sin\frac{3\pi}{2}\cos t-\cos\frac{3\pi}{2}\sin t =(-1)\cdot\cos t-0\cdot\sin t=-\cos t.$$

Геометрическая интерпретация:
Угол $\tfrac{3\pi}{2}$ — это поворот на $270^\circ$ (вниз по оси $Oy$). Вычитая $t$, мы немного «поднимаемся» к IV четверти. Там синус отрицателен, а по величине равен прилежащей проекции — то есть $|\cos t|$. Со знаком получаем $-\cos t$, что совпадает с алгеброй.

Итог:

• $\sin(\pi-t)=\sin t$;
• $\cos\!\left(\frac\pi2+t\right)=-\sin t$;
• $\cos(2\pi+t)=\cos t$;
• $\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)=-\cos t$.