ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \operatorname{ctg} t$;

б) $\operatorname{ctg}(180^\circ — a) = -\operatorname{ctg} a$;

в) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = -\operatorname{ctg} t$;

г) $\operatorname{ctg}(360^\circ — a) = -\operatorname{ctg} a$

Используем базовые определения

$$\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x},$$

а также формулы для синуса и косинуса суммы/разности:

$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.$$

Точные значения: $\sin \frac{\pi }{2}=1,\cos \frac{\pi }{2}=0;\sin \pi =0,\cos \pi =-1;\sin \frac{3\pi }{2}=-1,\cos \frac{3\pi }{2}=0;$

$\sin\frac\pi2=1,\ \cos\frac\pi2=0;\ \sin\pi=0,\ \cos\pi=-1;\ \sin\frac{3\pi}{2}=-1,\ \cos\frac{3\pi}{2}=0;\ \sin 180^\circ=0,\ \cos 180^\circ=-1;\ \sin 360^\circ=0,\ \cos 360^\circ=1.$

а) $\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\operatorname{ctg}t$

По определению тангенса:

$$\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=\frac{\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)}{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)}.$$

Вычислим числитель и знаменатель по формулам разности:

$$\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right) =\sin\tfrac{\pi}{2}\cos t-\cos\tfrac{\pi}{2}\sin t =1\cdot\cos t-0\cdot\sin t=\cos t,$$ $$\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right) =\cos\tfrac{\pi}{2}\cos t+\sin\tfrac{\pi}{2}\sin t =0\cdot\cos t+1\cdot\sin t=\sin t.$$

Подставим:

$$\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=\frac{\cos t}{\sin t}=\operatorname{ctg}t.$$

Область допустимых значений: $\sin t\neq 0$ (то есть $t\neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$), чтобы и исходное, и полученное выражения были определены.

б) $\operatorname{ctg}(180^\circ-a)=-\operatorname{ctg}a$

По определению котангенса:

$$\operatorname{ctg}(180^\circ-a)=\frac{\cos(180^\circ-a)}{\sin(180^\circ-a)}.$$

Используем формулы разности (в градусах):

$$\cos(180^\circ-a)=\cos180^\circ\cos a+\sin180^\circ\sin a=(-1)\cos a+0\cdot\sin a=-\cos a,$$ $$\sin(180^\circ-a)=\sin180^\circ\cos a-\cos180^\circ\sin a=0\cdot\cos a-(-1)\sin a=\sin a.$$

Делим:

$$\operatorname{ctg}(180^\circ-a)=\frac{-\cos a}{\sin a}=-\frac{\cos a}{\sin a}=-\operatorname{ctg}a.$$

ОДЗ: $\sin a\neq 0$ (то есть $a\neq k\cdot180^\circ,\ k\in\mathbb{Z}$).

в) $\operatorname{tg}\!\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)=-\operatorname{ctg}t$

Подойдём двумя эквивалентными путями (любой из них достаточен).

Путь 1 (через периодичность и ко-функции):

Разложим угол: $\tfrac{3\pi}{2}+t=\pi+\bigl(\tfrac{\pi}{2}+t\bigr)$.

Используем периодичность тангенса: $\operatorname{tg}(\pi+\varphi)=\operatorname{tg}\varphi$:

$$\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)=\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right).$$

Теперь вычислим $\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)$ через синус и косинус:

$$\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=\frac{\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)}{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)}.$$ $$\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=\sin\tfrac{\pi}{2}\cos t+\cos\tfrac{\pi}{2}\sin t=1\cdot\cos t+0\cdot\sin t=\cos t,$$ $$\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=\cos\tfrac{\pi}{2}\cos t-\sin\tfrac{\pi}{2}\sin t=0\cdot\cos t-1\cdot\sin t=-\sin t.$$

Следовательно,

$$\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}=-\operatorname{ctg}t.$$

Путь 2 (напрямую по формулам):

$$\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right) =\frac{\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)}{\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)}.$$ $$\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)=\sin\tfrac{3\pi}{2}\cos t+\cos\tfrac{3\pi}{2}\sin t=(-1)\cos t+0\cdot\sin t=-\cos t,$$ $$\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)=\cos\tfrac{3\pi}{2}\cos t-\sin\tfrac{3\pi}{2}\sin t=0\cdot\cos t-(-1)\sin t=\sin t,$$

откуда

$$\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)=\frac{-\cos t}{\sin t}=-\operatorname{ctg}t.$$

ОДЗ: $\sin t\neq 0$ (то есть $t\neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$), чтобы и $\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)$, и $\operatorname{ctg}t$ были определены.

г) $\operatorname{ctg}(360^\circ-a)=-\operatorname{ctg}a$

По определению:

$$\operatorname{ctg}(360^\circ-a)=\frac{\cos(360^\circ-a)}{\sin(360^\circ-a)}.$$

Формулы разности (в градусах):

$$\cos(360^\circ-a)=\cos360^\circ\cos a+\sin360^\circ\sin a=1\cdot\cos a+0\cdot\sin a=\cos a,$$ $$\sin(360^\circ-a)=\sin360^\circ\cos a-\cos360^\circ\sin a=0\cdot\cos a-1\cdot\sin a=-\sin a.$$

Делим:

$$\operatorname{ctg}(360^\circ-a)=\frac{\cos a}{-\sin a}=-\frac{\cos a}{\sin a}=-\operatorname{ctg}a.$$

ОДЗ: $\sin a\neq 0$ (то есть $a\neq k\cdot180^\circ,\ k\in\mathbb{Z}$).